Rette nello spazio

[Vito L]

Salve a tutti,
Avrei bisogno che qualcuno mi aiutasse a ragionare un pò con questo esercizio. Io sono davvero alle prime armi e più che la mera risoluzione avrei bisogno che qualcuno mi aiutasse man mano a capire il procedimento con cui risolvere questa tipologia di esercizi.

Premessa a parte, posto il problema

Si determinino equazioni delle rette $r1$ e $r2$ passanti per l'origine, parallele al piano $pi:x+z-3=0$ e aventi distanza 1 dal punto $P(0,2,0)$

Grazie mille
Vito L

[Plepp]

Ciao! Non ricordo se esiste un procedimento "standard" per questo tipo di esercizi, però cosi, su due piedi, io chiamerei $t_1,t_2,t_3$ i parametri direttori (che saranno le tue incognite) delle rette che stai cercando, e imporrei le condizioni che seguono dalle informazioni che hai (ovviamente, almeno uno dei $t_i$ potrà assumere due valori distinti).

Per esempio. Chiamiamo $T=(t_1,t_2,t_3)$ il vettore direttore della retta $r$ (o $s$).Ricordiamo che se $ax+by+cz+d=0$ è l'equazione di un piano in $RR^3$, allora $V=(a,b,c)$ è un vettore ortogonale al piano (per definizione di piano). Quindi nel nostro caso, $V=(1,0,1)$ è un vettore ortogonale a $\pi$.
Dal momento che $r ||\pi$, allora $T$ è ortogonale a $V$, no? E ricordiamo anche che due vettori sono ortogonali ssse il loro prodotto scalare è nullo; quindi, se $T$ è ortogonale a $V$, allora
\[T\cdot V=0\implies t_1\cdot 1+t_2\cdot 0+t_3\cdot 1=0\implies t_1=-t_3\]
In questo modo abbiamo ridotto il numero di incognite. Imponendo le altre condizioni dovresti poter risolvere

Ciao
Giuseppe

EDIT: mi ero perso il fatto che le rette passano per $O$

[Quinzio]

Un metodo già pronto non c'è. come sempre si ragiona su ciò che viene chiesto.
Ad es. un retta che passa per l'origine ha equazione:
$r:{(x=at),(y=bt),(z=ct):}$

Poi, i punti che sono a distanza 1 da P stanno tutti su una sfera.
$x^2+(y-2)^2+z^2=1$

Ora vado a fare l'intersezione tra la retta e la sfera:

$a^2t^2+(bt-2)^2+z^2t^2=1$

Ora se la retta è tangente alla sfera (altrimenti passa dentro alla sfera e ha distanza <1) devo trovare solo un valore di $t$ che soddisfa l'equazione.
Quindi siccome $t$ compare al secondo grado faccio in modo che $\Delta=0$.
Cioè raccolgo i $t$.
$t^2(a^2+b^2+c^2)-4bt+3=0$

In quella equazione impongo $\Delta= 3a^2-b^2+3c^2=0$
E questa è una condizione.

Poi c'è da imporre il parallelismo al piano, quindi $a=-c$ ovvero $a^2=c^2$

E, combinando con l'altra equazione, ottengo $y=\pm \sqrt 6 x = \pm \sqrt 6 z$
Cioè le due rette cercate :
$y=\sqrt 6 x = - \sqrt 6 z$
$y=-\sqrt 6 x = \sqrt 6 z$

Però onestamente, non ho seguito un metodo preconfezionato. Bisogna ragionare molto sugli elementi a disposizione.
Questo non è un esercizio banale a mio avviso, richiede già una certa autonomia e sicurezza nell'usare i vari oggetti della geometria, ti conviene forse far pratica prima su quelli + semplici.