Rette nello spazio...
salve a tutti.......ho un dubbio su questo esercizio:
trovare la retta passante per $P(x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare ad r:$\{(x=x_2 +l t),(y=y_2 + m t),(z=z_2 + n t):}$
è per caso: $l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0$ ???
trovare la retta passante per $P(x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare ad r:$\{(x=x_2 +l t),(y=y_2 + m t),(z=z_2 + n t):}$
è per caso: $l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0$ ???
Risposte
stai cercando il piano passante per $P$ e perpendicolare ad $r$, vero? In questo caso la risposta è sì.
grazie..............ma io cercavo la retta......non il piano.........
bè...... la retta passante per $P(x_1,y_1,z_1)$ è : s: $\{(x=x_1+ l t),(y=y_1+ m t),(z=z_1+ n t):}$
affinchè sia perpendicolare ll+mm+nn=0??
bè...... la retta passante per $P(x_1,y_1,z_1)$ è : s: $\{(x=x_1+ l t),(y=y_1+ m t),(z=z_1+ n t):}$
affinchè sia perpendicolare ll+mm+nn=0??
cercavi la retta ma hai scritto l'equazione del piano $\sigma$ passante per $P$ e perpendicolare alla retta. Poco male, non si butta via niente. La retta $s$ la potresti determinare come intersezione tra $\sigma$ e il piano $\pi$ contenente $r$ e $P$.
Tu stai invece usando per $s$ le equazioni parametrica. La condizione $l * l' + m * m'+ n*n'=0$ va certamente bene per la perpendicolarità. Devi ancora porre l'incidenza tra le rette.
Tu stai invece usando per $s$ le equazioni parametrica. La condizione $l * l' + m * m'+ n*n'=0$ va certamente bene per la perpendicolarità. Devi ancora porre l'incidenza tra le rette.
come la pongo l'incidenza???
le rette sono incidenti se i vettori direttori $(l,m,n)$ e $(l',m',n')$ e il vettore $PQ=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ sono complanari. Questa condizione è espressa dall'equazione:
$|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1),(l,m,n),(l',m',n') |=0$.
Se invece vuoi determinare l'equazione della retta come sistema tra le equazioni dei due piani, il piano $\pi$ è perpendicolare al prodotto esterno dei vettori $PQ$ ed $(l,m,n)$: $( n(y_2-y_1)- m(z_2-z_1), - n(x_2-x_1) + l (z_2-z_1), m (x_2-x_1) - l(y_2-y_1))$ ed ha quindi equazione:
$ (n(y_2-y_1)- m(z_2-z_1)) (x-x_2) + ( - n(x_2-x_1) + l (z_2-z_1)) (y-y_2)+ ( m (x_2-x_1) - l(y_2-y_1))(z-z_2) = 0$
$|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1),(l,m,n),(l',m',n') |=0$.
Se invece vuoi determinare l'equazione della retta come sistema tra le equazioni dei due piani, il piano $\pi$ è perpendicolare al prodotto esterno dei vettori $PQ$ ed $(l,m,n)$: $( n(y_2-y_1)- m(z_2-z_1), - n(x_2-x_1) + l (z_2-z_1), m (x_2-x_1) - l(y_2-y_1))$ ed ha quindi equazione:
$ (n(y_2-y_1)- m(z_2-z_1)) (x-x_2) + ( - n(x_2-x_1) + l (z_2-z_1)) (y-y_2)+ ( m (x_2-x_1) - l(y_2-y_1))(z-z_2) = 0$
grazie ........
e i piani passanti per $P(x_1,y_1,z_1)$?
e nel caso in cui siano perpendicolari a $\pi:a_0+b_0+c_0z+d=0$????
e i piani passanti per $P(x_1,y_1,z_1)$?
e nel caso in cui siano perpendicolari a $\pi:a_0+b_0+c_0z+d=0$????
Il vettore $(n(y_2-y_1)- m(z_2-z_1), - n(x_2-x_1) + l (z_2-z_1), m (x_2-x_1) - l(y_2-y_1))$, ottenuto come prodotto esterno $(l,m,n) \wedge PQ$, è perpendicolare sia a $(l,m,n)$ che a $PQ = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$.
Il piano $\pi$ di equazione:
$ (n(y_2-y_1)- m(z_2-z_1)) (x-x_2) + ( - n(x_2-x_1) + l (z_2-z_1)) (y-y_2)+ ( m (x_2-x_1) - l(y_2-y_1))(z-z_2) = 0$
contiene $Q(x_2,y_2,z_2)$ ma anche $P(x_1,y_1,z_1)$ e la retta $r$.
Il piano $\sigma$ di eq.
$l (x-x_2) + m (y-y_2)+n(z-z_2)=0$
contiene $Q$ ed è perpendicolare ad $r$ e l'intersezione tra i due piani è una retta per $Q$, perpendindicolare ad $r$.
Non mi è molto chiara la tua ultima domanda
Il piano $\pi$ di equazione:
$ (n(y_2-y_1)- m(z_2-z_1)) (x-x_2) + ( - n(x_2-x_1) + l (z_2-z_1)) (y-y_2)+ ( m (x_2-x_1) - l(y_2-y_1))(z-z_2) = 0$
contiene $Q(x_2,y_2,z_2)$ ma anche $P(x_1,y_1,z_1)$ e la retta $r$.
Il piano $\sigma$ di eq.
$l (x-x_2) + m (y-y_2)+n(z-z_2)=0$
contiene $Q$ ed è perpendicolare ad $r$ e l'intersezione tra i due piani è una retta per $Q$, perpendindicolare ad $r$.
Non mi è molto chiara la tua ultima domanda
è semplice: determinare i piani passanti per $P(x_1,y_1,z_1)$ ........................
I piani passanti per $P(x_1,y_1,z_1)$ hanno equazione:
$a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$
dove $(a,b,c)$ sono le componenti di un vettore perpendicolare al piano.
Questi piani sono perpendicolari a $\pi: a_0 x +b y_0 + c z_0 +d =0$ se sono tra loro perpendicolari i vettori $(a,b,c)$ e $(a_0,b_0,c_0)$, cioè se: $a a_0 + b b_0 + c c_0 =0$
$a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$
dove $(a,b,c)$ sono le componenti di un vettore perpendicolare al piano.
Questi piani sono perpendicolari a $\pi: a_0 x +b y_0 + c z_0 +d =0$ se sono tra loro perpendicolari i vettori $(a,b,c)$ e $(a_0,b_0,c_0)$, cioè se: $a a_0 + b b_0 + c c_0 =0$
grazie 1000...........
e i piani per $P(x_1,y_1,z_1)$ paralleli a $pi:a_0x+b_0y+c_0z+d=0$ ????
e i piani per $P(x_1,y_1,z_1)$ paralleli a $pi:a_0x+b_0y+c_0z+d=0$ ????
Usi sempre il fatto che nell'equazione di un piano i coefficienti di $x,y$ e $z$ sono le componenti di un vettore perpendicolare al piano.
Un piano parallelo a $\pi$ è anch'esso perpendicolare al vettore $(a_0, b_0, c_0)$.
L'equazione di quello per $P$ è
$a_0(x-x_1)+ b_0 (y-y_1) + c_0 (z- z_1)=0$.
Vedi che i coefficienti delle incognite sono le componenti del vettore e che l'equazione è soddisfatta da $x=x_1, y=y_1 $ e $z=z_1$
Un piano parallelo a $\pi$ è anch'esso perpendicolare al vettore $(a_0, b_0, c_0)$.
L'equazione di quello per $P$ è
$a_0(x-x_1)+ b_0 (y-y_1) + c_0 (z- z_1)=0$.
Vedi che i coefficienti delle incognite sono le componenti del vettore e che l'equazione è soddisfatta da $x=x_1, y=y_1 $ e $z=z_1$
avevo fatto bene..........e i piani per $P(x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolari ad r: $\{(x=x_2+ l t),(y=y_2+ m t),(z=z_2+ n t):}$ ????
per caso è $l(x- x_1 )+ m (y-y_1 )+n(z-z_1 )=0$ ??
per caso è $l(x- x_1 )+ m (y-y_1 )+n(z-z_1 )=0$ ??
esattamente
ok, sto migliorando..........e i piani per $P(x_1,y_1,z_1)$ e paralleli ad r: $\{(x=x_2+ l t),(y=y_2+ m t),(z=z_2+ n t):}$ ????
i piani per P sono: $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)+d=0$ .......
....ora devo trovare dei vori affinchè $al+bm+cn=0$ ?????
....ora devo trovare dei vori affinchè $al+bm+cn=0$ ?????
"bius88":
i piani per p sono: $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)+d=0$
sono $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$; $d=0$, altrimenti quando sostituisci $x=x_1, y=y_1$ e $z=z_1$ l'uguaglianza non è verificata.
Se distribuisci i coefficienti ottieni $ax+by +cz - (a x_1 + b y_1 + c_z_1)=0$ Il termine noto dell'equazione è $- (a x_1 + b y_1 + c_z_1)$
....
si scusa........i piani per P sono $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0.....
affinchè siano paralleli ad r devo trovare dei valori in modo che $al+bm+cn=0$ ?
affinchè siano paralleli ad r devo trovare dei valori in modo che $al+bm+cn=0$ ?
Sì, questi piano sono infiniti, in corrispondenza delle terne di valori $a,b,c$ che soddisfano la condizione che hai espresso. I piani sono $ax+by+cz+d=0$ con
$\{(a=-(bm+cn)/l),(b=b),(c=c),(d=-(ax_1+by_1+cz_1)):}$.
$\{(a=-(bm+cn)/l),(b=b),(c=c),(d=-(ax_1+by_1+cz_1)):}$.
"5InGold":
le rette sono incidenti se i vettori direttori $(l,m,n)$ e $(l',m',n')$ e il vettore $PQ=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ sono complanari. Questa condizione è espressa dall'equazione:
$|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1),(l,m,n),(l',m',n') |=0$
scusa ma nn ho capito bene......oltre alla condizione $ll'+mm'+n n'$ deve verificarsi anche l'ultima, ma se $x_2-x_1,l,l'$ sono numeri finiti, come faccio ad ottenere un'equazione se nn c'è neanche un'incognita? Nella matrice
$|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1),(l,m,n),(l',m',n') |=0$ ci sono solo numeri finiti...........
grazie
Avevi la retta $r$ passante per $Q(x_2,y_2,z_2)$ e parallela al vettore $(l,m,n)$.
Volevi determinare la retta $s$ per $P(x_1,y_1,z_1)$ perpendicolare a $r$. Questa retta avrà una eq. del tipo:
$\{(x=x_1 + t l'),(y=y_1+tm'),(z=z_1 + t n'):}$.
Le componenti del vettore $(l',m',n')$ non sono note, anzi sono proprio quello che devi determinare.
Se le rette $s$ ed $r$ si devono intersecare, queste sue rette dovranno appartenere ad uno stesso piano. Questa condizione è equivalente alla complanarità dei vettori noti $(l,m,n)$ e $PQ=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ con il vettore incognito $(l',m',n')$ da cui l'equazione con il det. uguagliato a zero.
Volevi determinare la retta $s$ per $P(x_1,y_1,z_1)$ perpendicolare a $r$. Questa retta avrà una eq. del tipo:
$\{(x=x_1 + t l'),(y=y_1+tm'),(z=z_1 + t n'):}$.
Le componenti del vettore $(l',m',n')$ non sono note, anzi sono proprio quello che devi determinare.
Se le rette $s$ ed $r$ si devono intersecare, queste sue rette dovranno appartenere ad uno stesso piano. Questa condizione è equivalente alla complanarità dei vettori noti $(l,m,n)$ e $PQ=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ con il vettore incognito $(l',m',n')$ da cui l'equazione con il det. uguagliato a zero.
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