Rette incidenti, rette sghembe, parallele
Salve il problema é:
1. determinare la posizione reciproca delle rette r ed s
r: $\{(x = 3 - t),(y = 2 - 1/2t),(z = -3):}$
s: $\{(x = -1 + 2t'),(y = 1 - 4t'),(z = -2 - 6t'):}$
2. scrivere l'equazione del piano contenente s ed ortogonale ad r
3. calcolare la distanza tra r ed s.
Per quanto riguarda il primo punto io mi trov che le due rette sono sghembe.
infatti sono passato dalla rappresentazione parametrica delle due rette a quella ordinaria (o cartesiana)
e mi trovo che le due rette sono:
r: $\{(3/2x + y - 1/2 = 0),(z + 3 = 0):}$
s: $\{(2x + y + 1 = 0),(3x + z + 5 = 0):}$
quindi studio la matrice
$((3/2,1,0,1/2),(0,0,1,-3),(2,1,0,-1),(3,0,1,-5))$
cioè la matrice formata dalla matrice incompleta (i coefficicienti dele incognite) e dalla colonna dei termini noti cambiati di segno, questa matrice è detta matrice completa.
chiamiamo A la matrice compelta e A' la matrice incompleta.
ora io so che se la matrice completa è ridotta a scalini si ha che:
- se il rango di A' è 3 e quello di A è 4 le rette sn sghembe
- se il rango di A ed A' è 3 per entrambe le rette sono incidenti
- se il rango di A' è 2 e quello di A è 3 le rette sono parallele
-se il rango di A è 2 e quello di A' è 2 le rette sono coincidenti.
detto questo io mi trovo che sono sghembe.
se ho sbagliato qualcosa aiutatemi ....almeno per la fatica che ho fatto a scrivere tt sta roba...visto che non sono pratico cn questo tipo di scrittura...
.
E' molto importante. grazie.
1. determinare la posizione reciproca delle rette r ed s
r: $\{(x = 3 - t),(y = 2 - 1/2t),(z = -3):}$
s: $\{(x = -1 + 2t'),(y = 1 - 4t'),(z = -2 - 6t'):}$
2. scrivere l'equazione del piano contenente s ed ortogonale ad r
3. calcolare la distanza tra r ed s.
Per quanto riguarda il primo punto io mi trov che le due rette sono sghembe.
infatti sono passato dalla rappresentazione parametrica delle due rette a quella ordinaria (o cartesiana)
e mi trovo che le due rette sono:
r: $\{(3/2x + y - 1/2 = 0),(z + 3 = 0):}$
s: $\{(2x + y + 1 = 0),(3x + z + 5 = 0):}$
quindi studio la matrice
$((3/2,1,0,1/2),(0,0,1,-3),(2,1,0,-1),(3,0,1,-5))$
cioè la matrice formata dalla matrice incompleta (i coefficicienti dele incognite) e dalla colonna dei termini noti cambiati di segno, questa matrice è detta matrice completa.
chiamiamo A la matrice compelta e A' la matrice incompleta.
ora io so che se la matrice completa è ridotta a scalini si ha che:
- se il rango di A' è 3 e quello di A è 4 le rette sn sghembe
- se il rango di A ed A' è 3 per entrambe le rette sono incidenti
- se il rango di A' è 2 e quello di A è 3 le rette sono parallele
-se il rango di A è 2 e quello di A' è 2 le rette sono coincidenti.
detto questo io mi trovo che sono sghembe.
se ho sbagliato qualcosa aiutatemi ....almeno per la fatica che ho fatto a scrivere tt sta roba...visto che non sono pratico cn questo tipo di scrittura...
.E' molto importante. grazie.
Risposte
naturalmente la matrice che ho scritto prima l'ho scritta perchè praticamente per verificare la posizione reicproca delle due rette devo mettere a sistema "le due rette r ed s" e quindi ciò equivale a studiare la matrice di cui ho parlato prima.
aiutatemi grazie
aiutatemi grazie
sì sono sghembe
quindi ho fatto bene con il metodo che ho usato io???
e per il punto 2 ? potreste darmi una mano?
per piano contenente s ho inteso il fascio di piani avente come asse la retta s e l'ho calcoltao e mi viene:
2x + y +1 +3t*x + t*z +5t = 0
cioè
(2+3t)*x + y + t*z + (5t +1) = 0
ed ora come dovrei fare..?? io so che una terna di direttori di r é (-1 , -1/2, -3)
come faccio ora???
p.s. quindi il metodo che usato io per trovare la posizione rciproca delle due rette è esatto??
Vi ringrazio di cuore se potete datemi una mano
grazie!
e per il punto 2 ? potreste darmi una mano?
per piano contenente s ho inteso il fascio di piani avente come asse la retta s e l'ho calcoltao e mi viene:
2x + y +1 +3t*x + t*z +5t = 0
cioè
(2+3t)*x + y + t*z + (5t +1) = 0
ed ora come dovrei fare..?? io so che una terna di direttori di r é (-1 , -1/2, -3)
come faccio ora???
p.s. quindi il metodo che usato io per trovare la posizione rciproca delle due rette è esatto??
Vi ringrazio di cuore
se potete datemi una mano grazie!
ti ricordi che se $l,m,n$ sono i parametri direttori di una retta il piano ad essa perpendicolare ha equazione $lx+my+nz+k=0$
Allora come giustamente hai fatto notare tu, prendiamo il fascio di asse $s$. Per agevolarci meglio prendere il fascio con due parametri questa volta, avremo l'equazione $(2lambda+3mu)x+lambday+muz+lambda+5mu=0$. A questo punto dovremo imporre che i coefficienti del nostro piano siano uguali ai parametri direttori della retta, cioè che $\{(2lambda+3mu=-1),(lambda=-1/2),(mu=0):}$, osserviamo che le due soluzioni soddisfano la prima equazione...
sostituendo ottieni il piano cercato.
Ti faccio notare, che tale piano non sempre esiste!
Allora come giustamente hai fatto notare tu, prendiamo il fascio di asse $s$. Per agevolarci meglio prendere il fascio con due parametri questa volta, avremo l'equazione $(2lambda+3mu)x+lambday+muz+lambda+5mu=0$. A questo punto dovremo imporre che i coefficienti del nostro piano siano uguali ai parametri direttori della retta, cioè che $\{(2lambda+3mu=-1),(lambda=-1/2),(mu=0):}$, osserviamo che le due soluzioni soddisfano la prima equazione...
sostituendo ottieni il piano cercato.
Ti faccio notare, che tale piano non sempre esiste!
grazie mille!
quindi se l'ultimo sistema che hai scritto si presentava impossibile il piano nonsarebbe esistito vero??
volevo chiederti una cosa anche: ma in genere è sempre preferibile usare i due parametri per il fascio??
p.s. cmq l'ultimo parametro cioè $\mu$ dovrebbe essere posto uguale a -3 vero??
grazie mille..
quindi se l'ultimo sistema che hai scritto si presentava impossibile il piano nonsarebbe esistito vero??
volevo chiederti una cosa anche: ma in genere è sempre preferibile usare i due parametri per il fascio??
p.s. cmq l'ultimo parametro cioè $\mu$ dovrebbe essere posto uguale a -3 vero??
grazie mille..
grazie mille!
quindi se l'ultimo sistema che hai scritto si presentava impossibile il piano nonsarebbe esistito vero??
volevo chiederti una cosa anche: ma in genere è sempre preferibile usare i due parametri per il fascio??
p.s. cmq l'ultimo parametro cioè $\mu$ dovrebbe essere posto uguale a -3 vero??
grazie mille..
l'ultima cosa: ora provo a fare il punto 3, dopo lo posto e puoi dirmi se ho fatto bene o meno?
grazie x la pazienza
quindi se l'ultimo sistema che hai scritto si presentava impossibile il piano nonsarebbe esistito vero??
volevo chiederti una cosa anche: ma in genere è sempre preferibile usare i due parametri per il fascio??
p.s. cmq l'ultimo parametro cioè $\mu$ dovrebbe essere posto uguale a -3 vero??
grazie mille..
l'ultima cosa: ora provo a fare il punto 3, dopo lo posto e puoi dirmi se ho fatto bene o meno?
grazie x la pazienza
No, deve essere uguale a $0$. $-3$ è la quota di $r$ ma a noi interessa il suo parametro direttore, che è $0$.
Quando posso uso un solo parametro, ma in questo caso non sarebbe stato possibile, o meglio, avremmo dovuto maneggiare meglio l'equazione del fascio di piani. Siccome era immediato verificarlo con due ho preferito fare così.
Ora prova il punto 3) e vediamo se è corretto!
Quando posso uso un solo parametro, ma in questo caso non sarebbe stato possibile, o meglio, avremmo dovuto maneggiare meglio l'equazione del fascio di piani. Siccome era immediato verificarlo con due ho preferito fare così.
Ora prova il punto 3) e vediamo se è corretto!
il 3) lo sto facendo... volevo solo chiarire una cosa ...ma quand'è che in genere dobbiamo usare il doppio paramtero anziche uno solo?
non c'è una regola, in generale è uguale... stando attenti alle informazioni che perdiamo usando un solo parametro.
allora per il punto 3 ho fatto cosi:
poichè le rette sono sghembe procedo in tal modo:
il punto generico P appartenente alla retta r avrà coordinate (3 - t, 2 - 1/2t , -3)
il punto generico Q appartenente alla retta s avrà coordinate (-1 + 2t', 1 - 4t', -2 - 6t')
il vettore PQ sara° : (-4 +2t' - t, -1 - 4t' + 1/2t, 1 - 6t')
si ha poi :
- PQ $\bot$ r $hArr$ (-4 +2t' - t, -1 - 4t' + 1/2t, 1 - 6t') * (-1, -1/2, 0)=0 cioè svolgendo abbiamo alla fine (salto i calcoli)
9/2 +3/4 t = 0
- PQ $\bot$ s $hArr$ (-4 +2t' - t, -1 - 4t' + 1/2t, 1 - 6t') * (2, -4, -6) = 0 cioè svolgendo abbiamo alla fine
-10 +56 t' -4 t = 0
PQ è ortogonale sia ad r che ad s se e solo se sono verificate entrambe le condizioni e quindi metto a sistema le due equazioni con incognite t e t'.
ottengo che
t= -6
t' = -4
così il punto P che cercavo avrà coordinate (9,5,-3)
e Q sarà (-9,17,22)
calcolo la distanza tra i due punti e trovo quindi la distanza tra r ed s.
si ha che d(P,Q) é $sqrt(1093)$
AIUTATEMI E DITEMI SE HO FATTO BENE O SE HO SBAGLIATO QUALCOSA ... è MPORTANTE !!!
VI RINGRAZIO PER LA DISPONIBILITA E LA PAZIENZA
poichè le rette sono sghembe procedo in tal modo:
il punto generico P appartenente alla retta r avrà coordinate (3 - t, 2 - 1/2t , -3)
il punto generico Q appartenente alla retta s avrà coordinate (-1 + 2t', 1 - 4t', -2 - 6t')
il vettore PQ sara° : (-4 +2t' - t, -1 - 4t' + 1/2t, 1 - 6t')
si ha poi :
- PQ $\bot$ r $hArr$ (-4 +2t' - t, -1 - 4t' + 1/2t, 1 - 6t') * (-1, -1/2, 0)=0 cioè svolgendo abbiamo alla fine (salto i calcoli)
9/2 +3/4 t = 0
- PQ $\bot$ s $hArr$ (-4 +2t' - t, -1 - 4t' + 1/2t, 1 - 6t') * (2, -4, -6) = 0 cioè svolgendo abbiamo alla fine
-10 +56 t' -4 t = 0
PQ è ortogonale sia ad r che ad s se e solo se sono verificate entrambe le condizioni e quindi metto a sistema le due equazioni con incognite t e t'.
ottengo che
t= -6
t' = -4
così il punto P che cercavo avrà coordinate (9,5,-3)
e Q sarà (-9,17,22)
calcolo la distanza tra i due punti e trovo quindi la distanza tra r ed s.
si ha che d(P,Q) é $sqrt(1093)$
AIUTATEMI E DITEMI SE HO FATTO BENE O SE HO SBAGLIATO QUALCOSA ... è MPORTANTE !!!
VI RINGRAZIO PER LA DISPONIBILITA E LA PAZIENZA
Premetto che io avevo fatto una costruzione geometria della retta in questione... se ti interessa cerca in qualche mio post addietro, dovresti trovarla.
Comunque mi sembra giusto, se i calcoli son corretti, non ho controllato.
Ah, usa sempre le formule, diventa tutto più leggibile!
Comunque mi sembra giusto, se i calcoli son corretti, non ho controllato.
Ah, usa sempre le formule, diventa tutto più leggibile!
QUINDI il procedimento è giusto?? grazie
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