Rette incidenti
Salve!
Avendo due rette : $r : x+2y+kz=0$,$2x-5y+z=0$ ed $s: 2x-5y+z=0$,$ x-3z=0$ per quali valori di $k$ esse sono incidenti?
Io avevo pensato che, poichè rette incidenti sono anche complanari, ossia che i loro numeri direttori sono linearmente dipendenti, ho imposto che $|(2+5k,2k-1,-9),(15,6,5)|=0$, con $(2+5k,2k-1,-9)$ e $(15,6,5)$, i numeri direttori rispettivamente di $r$ ed $s$, ed ho che $k=-167/15$.
Volevo sapere, è corretto procedere in questo modo?
Avendo due rette : $r : x+2y+kz=0$,$2x-5y+z=0$ ed $s: 2x-5y+z=0$,$ x-3z=0$ per quali valori di $k$ esse sono incidenti?
Io avevo pensato che, poichè rette incidenti sono anche complanari, ossia che i loro numeri direttori sono linearmente dipendenti, ho imposto che $|(2+5k,2k-1,-9),(15,6,5)|=0$, con $(2+5k,2k-1,-9)$ e $(15,6,5)$, i numeri direttori rispettivamente di $r$ ed $s$, ed ho che $k=-167/15$.
Volevo sapere, è corretto procedere in questo modo?
Risposte
In quel modo, stai imponendo che i due vettori direttori siano uno il multiplo dell'altro, ossia che le due rette siano parallele.
Se due rette sono complanari, i loro vettori direttori appartengono alla giacitura del piano che le contiene, che è un sottospazio di dimensione 2, quindi non necessariamente devono essere dipendenti.
Invece, io scriverei la matrice completa del sistema di quattro equazioni cartesiane, dato dalle due di r e dalle due di s (la cui soluzione sarà l'eventuale intersezione).
Ora basta ragionare su rango di matrice completa e incompleta per discutere quando l'intersezione è non vuota e, se non vuota, quando è data da un unico punto (ossia le due rette sono incidenti).
Prova a postare le tue riflessioni a riguardo
P.s.: tra l'altro non ha neanche senso fare il determinante di una matrice 2x3. In un caso del genere, avresti dovuto imporre condizioni sui minori di ordine due di quella matrice.
Se due rette sono complanari, i loro vettori direttori appartengono alla giacitura del piano che le contiene, che è un sottospazio di dimensione 2, quindi non necessariamente devono essere dipendenti.
Invece, io scriverei la matrice completa del sistema di quattro equazioni cartesiane, dato dalle due di r e dalle due di s (la cui soluzione sarà l'eventuale intersezione).
Ora basta ragionare su rango di matrice completa e incompleta per discutere quando l'intersezione è non vuota e, se non vuota, quando è data da un unico punto (ossia le due rette sono incidenti).
Prova a postare le tue riflessioni a riguardo
P.s.: tra l'altro non ha neanche senso fare il determinante di una matrice 2x3. In un caso del genere, avresti dovuto imporre condizioni sui minori di ordine due di quella matrice.
Per avere una soluzione la matrice dovrebbe avere rango 3....giusto??
Sì, il rango della matrice completa dev'essere 3. Ma anche quello della matrice incompleta dev'essere 3 perché la soluzione esista.
Se il rango della matrice incompleta fosse 2, avresti come soluzione del sistema omogeneo associato una giacitura di dimensione 1, ma il sistema completo sarebbe incompatibile, quindi le due rette sarebbero parallele.
EDIT: scusa, ma ho fatto caso soltanto ora che le equazioni delle rette sono omogenee, quindi la matrice completa ha automaticamente rango minore o uguale a 3, essendo il sistema omogeneo. Quindi ti basta imporre condizioni sulla matrice incompleta. Tra l'altro hai anche un'equazione in comune, il che semplifica ulteriormente la discussione
Se il rango della matrice incompleta fosse 2, avresti come soluzione del sistema omogeneo associato una giacitura di dimensione 1, ma il sistema completo sarebbe incompatibile, quindi le due rette sarebbero parallele.
EDIT: scusa, ma ho fatto caso soltanto ora che le equazioni delle rette sono omogenee, quindi la matrice completa ha automaticamente rango minore o uguale a 3, essendo il sistema omogeneo. Quindi ti basta imporre condizioni sulla matrice incompleta. Tra l'altro hai anche un'equazione in comune, il che semplifica ulteriormente la discussione
grazie mille!
Di nulla 
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