Rette incidenti

[Stanzi96]

L'esercizio mi chiedi di controllare se le due rette sono incidenti in caso affermativo di calcolare la distanza del piano che le contiene da P (0,0,0)

$ r: x( ( 3 ),( 2 ),( 1 ) ) +t( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) $

$ s:{ ( x-2y-z=0 ),( x+y+z=7 ):} $

Prima di tutto ho trasformato la retta r in forma cartesiana e, calcoli permettendo, mi viene che.

$ r:{ ( x-z-2=0 ),( y+z-3=0 ):} $

a questo punto calcolo il determinante della matrice composta dalle 4 equazioni che rappresentano le due rette, se esso è zero allora posso dire che sono complanari e procedere allo studio del rango per capire se sono incidenti.

$ det( ( 1 , -2 , -1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 7 ),( 1 , 0 , -1 , -2 ),( 0 , 1 , 1 , -3 ) ) $ = 28
il calcolo del determinate l'ho lasciato svolgere alla mia sharp (dato che posso utilizzarla...).
Quindi le due rette sono sghembe e l'esercizio finisce qui...se corretto.
Domanda se invece fossero state complanari incidenti come avrei potuto ricavarmi il piano che le contiene?

[maluz1]

Dovrebbe essere sufficiente ricavare dalle equazioni delle rette 3 punti non allineati (quindi non della stessa retta). Costruirai due vettori AB e AC, con A, B, C i punti da te scelti. a questo punto crei una matrice 3x3 che ha in una colonna le componenti di un vettore generico che parte dal punto A e nelle altre 2 colonne le componenti degli altri vettori, Per esempio
$ ( ( x-2 , 4 , 3 ),( y+1 , 5 , 2 ),( z-3 , 3 , 1 ) ) $

(fatta con numeri random)
In questo caso A avrà coordinate (2,-1,3) e gli altri due vettori saranno rispettivamente (4,5,3) e (3,2,1). Il determinante dovrebbe essere in funzione di x, y e z, che sarà il tuo piano.

[liberatorimatteo]

Attento perché la matrice che hai posto nel determinante non è corretta poiché nell'ultima colonna hai invertito i segni di 2 e 3 (infatti in $s$ il 7 si trova al secondo membro mentre mentre in $r$ abbiamo -2 e -3 al primo). Se non sbaglio correggendo viene il determinante nullo e il punto di intersezione dovrebbe essere (se non ho sbagliato i conti)
$Q=\{(x=4),(y=1),(z=3):}$
Sicuramente il piano che le contiene avrà come vettori direttori i vettori direttori delle due rette e passerà per un punto qualsiasi di una delle due rette, in particolare visto puoi usare il punto di intersezione.
Scrivo s in forma parametrica $s:\{(x=1/2t+7/2),(y=t),(z=-3/2t+7/2):}$
Per proporzionalità si ha che il vettore direttore di $s$ è $((1),(2),(-3))$
Quindi il piano che contiene entrambe sarà $\alpha=((4),(1),(3))+t((1),(-1),(1))+h((1),(2),(-3))$
Per la distanza puoi usare la formula della distanza punto iperpiano oppure trovare un'altra strada alternativa

Spero di non dire sciocchezze... Ho fatto sabato l'esonero di Geometria 1 e a breve avrò l'orale, devo dire che è davvero un bel corso!

[Stanzi96]

eh si ho fatto un erroraccio! che svista! Grazie ancora anche delle spiegazioni

[Stanzi96]

Mi sono incastrata a trovare il punto di intrsezione delle rette. Sbaglio nei calcoli credo. Bisogna risolvere il sistema di 4 equazioni (date dalle forme cartesiane) in 3 incognite giusto?..Non si può trovare direttamente dalle forme parametriche? Grazie ancora

[liberatorimatteo]

In base alle richieste dell'esercizio non è necessario determinare il punto di intersezione però se vuoi determinarlo io farei così:
Considero la matrice e opero attraverso trasformazioni elementari fino a ridurre tale matrice in una completamente ridotta
$ (( 1 , -2 , -1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 7 ),( 1 , 0 , -1 , 2 ),( 0 , 1 , 1 , 3 )) -> (( 1 , 0 , -1 , 2 ),( 1 , -2 , -1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 7 ),( 0 , 1 , 1 , 3 )) -> (( 1 , 0 , -1 , 2 ),( 0, -2 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 2 , 5 ),( 0 , 1 , 1 , 3 )) -> (( 1 , 0 , -1 , 2 ),( 0, 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 2 , 4 ),( 0 , 1 , 1 , 2 )) -> (( 1 , 0 , -1 , 2 ),( 0, 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 )) -> (( 1 , 0 , 0 , 4 ),( 0, 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 )) $
Quindi il sistema diventa
$ s\capr:{ ( x=4 ),( y=1 ),( z=2 ),( 0=0 ):} $