Rette e piani nello spazio
ciao a tutti.......avrei bisogno di aiuto.....non so trovare la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e parallele a $\pi : ax+by+cz+d=0$ ...........
sn sicuro che è semplice ma nn riesco a trovarla..................grazie!!!
sn sicuro che è semplice ma nn riesco a trovarla..................grazie!!!
Risposte
"bius88":
ciao a tutti.......avrei bisogno di aiuto.....non so trovare la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e parallele a $\pi : ax+by+cz+d=0$ ...........
sn sicuro che è semplice ma nn riesco a trovarla..................grazie!!!
Non c'è la retta, ma infinite rette.
Le ottieni in questo modo:
$((x),(y),(z)) = ((x_1),(y_1),(z_1)) + t ((v_x),(v_y),(v_z))$
dove
$((v_x),(v_y),(v_z))$ è un qualsiasi vettore $\ne 0$ ortogonale a $((a),(b),(c))$.
"franced":
[quote="bius88"]ciao a tutti.......avrei bisogno di aiuto.....non so trovare la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e parallele a $\pi : ax+by+cz+d=0$ ...........
sn sicuro che è semplice ma nn riesco a trovarla..................grazie!!!
Non c'è la retta, ma infinite rette.
Le ottieni in questo modo:
$((x),(y),(z)) = ((x_1),(y_1),(z_1)) + t ((v_x),(v_y),(v_z))$
dove
$((v_x),(v_y),(v_z))$ è un qualsiasi vettore $\ne 0$ ortogonale a $((a),(b),(c))$.[/quote]
Per ottenere un vettore ortogonale a $((a),(b),(c))$ basta che tu prenda una combinazione lineare
dei vettori, entrambi ortogonali a $((a),(b),(c))$, così definiti:
$w=((b),(-a),(0))$ e $h=((0),(c),(-b))$
Mi è venuto in mente un altro metodo.
Considera il piano $alpha$ passante per il punto $P$ e parallelo al tuo piano assegnato:
$a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$
ora basta intersecare questo piano con un altro piano passante sempre per $P$:
$a'(x-x_1)+b'(y-y_1)+c'(z-z_1)=0$
purché il vettore $((a'),(b'),(c'))$ non sia parallelo a $((a),(b),(c))$.
In definitiva una delle infinite rette può essere rappresentata analiticamente in questo modo:
$\{ (a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0) , (a'(x-x_1)+b'(y-y_1)+c'(z-z_1)=0) :}$
Considera il piano $alpha$ passante per il punto $P$ e parallelo al tuo piano assegnato:
$a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$
ora basta intersecare questo piano con un altro piano passante sempre per $P$:
$a'(x-x_1)+b'(y-y_1)+c'(z-z_1)=0$
purché il vettore $((a'),(b'),(c'))$ non sia parallelo a $((a),(b),(c))$.
In definitiva una delle infinite rette può essere rappresentata analiticamente in questo modo:
$\{ (a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0) , (a'(x-x_1)+b'(y-y_1)+c'(z-z_1)=0) :}$
molte grazie
e per caso sai qual'è la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare a r:$\{(x = x_2+ l t),(y=y_2+n t),(z=z_2+nt):}$ ???
ancora grazie...........
e per caso sai qual'è la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare a r:$\{(x = x_2+ l t),(y=y_2+n t),(z=z_2+nt):}$ ???
ancora grazie...........
"bius88":
molte grazie
e per caso sai qual'è la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare a r:$\{(x = x_1+ l t),(y=y_1+n t),(z=z_1+nt):}$ ???
ancora grazie...........
Prova a fare un disegno.
come lo faccio il disegno......? nn so rappresentare la retta r...............
"bius88":
come lo faccio il disegno......? nn so rappresentare la retta r...............
Non importa.
Il disegno è puramente indicativo.
nn capisco a cosa vuoi farmi arrivare...... ci sn + rette?
Intendo il problema in questo modo:
"Trovare la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare a r:$\{(x = x_2+ l t),(y=y_2+n t),(z=z_2+nt):}$"
Considera il piano $pi$ perpendicolare alla retta $r$ passante per $P$.
La retta voluta passa per il punto $P$ e per il punto di intersezione
tra il piano $pi$ e la retta $r$.
"Trovare la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare a r:$\{(x = x_2+ l t),(y=y_2+n t),(z=z_2+nt):}$"
Considera il piano $pi$ perpendicolare alla retta $r$ passante per $P$.
La retta voluta passa per il punto $P$ e per il punto di intersezione
tra il piano $pi$ e la retta $r$.
"bius88":
molte grazie
e per caso sai qual'è la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare a r:$\{(x = x_1+ l t),(y=y_1+n t),(z=z_1+nt):}$ ???
ancora grazie...........
Sei sicuro che i pedici siano tutti uguali a 1?
"franced":
[quote="bius88"]molte grazie
e per caso sai qual'è la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare a r:$\{(x = x_1+ l t),(y=y_1+n t),(z=z_1+nt):}$ ???
ancora grazie...........
Sei sicuro che i pedici siano tutti uguali a 1?[/quote]
Se fosse così allora ci sono infinite rette.
Si ottengono in questo modo:
basta prendere un vettore $v=((v_x),(v_y),(v_z))$ ortogonale al vettore $((l),(m),(n))$
e scrivere:
$((x),(y),(z)) = ((x_1),(y_1),(z_1)) + t ((v_x),(v_y),(v_z))$.
ciao....hai perfettamente ragione il pedice nn è 1 poichè altrimenti sarebbero gli stessi numeri del punto P..................chiamiamoli $X_2$.......ora li correggo......grazie per avermelo fatto notare.......quindi la retta è 1 sola...................ma quale?
"franced":
Intendo il problema in questo modo:
"Trovare la retta passante per $P (x_1,y_1,z_1)$ e perpendicolare a r:$\{(x = x_2+ l t),(y=y_2+m t),(z=z_2+n t):}$"
Considera il piano $pi$ perpendicolare alla retta $r$ passante per $P$.
La retta voluta passa per il punto $P$ e per il punto di intersezione
tra il piano $pi$ e la retta $r$.
Il piano $pi$ si trova semplicemente in questo modo:
$l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0$
Trovi il punto $Q$ di intersezione di $pi$ con la retta $r$
e ti calcoli l'equazione della retta passante per $P$ e per $Q$.
E' chiaro ora?
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