Rette e piani in E^4

marco.bre
Ciao a tutti, vi vorrei chiedere una mano con questo esercizio. In $bbbE^4$ con il riferimento affine standard sono dati la retta $q$ e il 2-piano $pi$ ponendo

$q:{(x=5+2t),(y=1-t),(z=2),(w=-t):}$

$pi:{(x+2y+z=1),(y-w=1):}$

bisogna verificare che questi sono paralleli e calcolare la distanza tra loro.

Dalla teoria sappiamo che due sottospazi sono paralleli se la giacitura di uno è contenuta nella giacitura dell'altro o viceversa.
Dunque dato $(-2,1,0,1)$ un vettore direzione di $q$ osservo che questo è contenuto nella giacitura di $pi$ in quanto risolve il sistema lineare omogeneo associato all'equazione cartesiana di $pi$

${(x+2y+z=0),(y-w=0):}$

e quindi $q$ e $pi$ son paralleli.

Ora, come faccio a trovare la distanza tra loro? Potrei trovare la retta per un qualsiasi punto di $pi$ ortogonale a $pi$ stesso, ma non so come farlo... :-D

Risposte
weblan
Ho eseguito velocemente dei calcoli, mi viene $d=2sqrt(7)$

marco.bre
"weblan":
Ho eseguito velocemente dei calcoli, mi viene $d=2sqrt(7)$


E non è che potresti darmi un'idea di come si fa?! thanks

weblan
Questo è il ragionamento fatto:

1) Considero un generico punto del sottospazio di dimensione 2 assegnato, per esempio considero il punto $R(-1,1,0,0)$. Va bene un qualsiasi punto che soddisfa le due equazioni del sottospazio affine.

2) Il sottospazio ortogonale a quello assegnato sarà generato dai vettori $(1,2,1,0) e (0,1,0,-1)$

3) A questo punto scrivo l'equazione del sottospazio affine passante per $R(-1,1,0,0)$ e avente giacitura $(1,2,1,0) e (0,1,0,-1)$

4) Interseco tale sottospazio affine con la retta in forma parametrica, trovo così il punto $S(1,3,2,2)$

5) Distanza tra i punti R e S, viene fuori $d=4$. Prima avevo commesso qualche distrazione.

marco.bre
Ok, vediamo se ho capito.
Praticamente se in $bbbE^3$ un vettore ortogonale al piano di equazione $Ax+By+Cz+D=0$ è dato da $(A,B,C)$,
in $bbbE^4$ la giacitura del sottospazio ortogonale al 2-piano di equazione ${(Ax+By+Cz+Dw+E=0),(A'x+B'y+C'z+D'w+E'=0):}$ è data da $<(A,B,C,D),(A',B',C',D')>$.
Comunque grazie dell'aiuto!

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