Rette e Piani Esercizio

[marco.cicala92]

Salve a tutti, vorrei una conferma su un esercizio che sto svolgendo.

Traccia: Scrivere una terna di numeri direttori di una retta di \(\displaystyle E^3 \) ortogonale alla retta
\(\displaystyle r: \) $\{(x + y + z = 2),(x + y = 3):}$ e parallela al piano $\pi$ \(\displaystyle : x + y + z = 2 \)

Mio svolgimento:
trovo l'equazione parametrica della retta \(\displaystyle r \): $\{(x = 3 - t),(y = t),(z = -1):}$

ora so che la retta \(\displaystyle r \) passa per il punto \(\displaystyle P(3,0,-1) \)

Il vettore direttore del piano è: \(\displaystyle V_{dir} (1,1,1) \)

Quindi scrivo che la retta da trovare è : $\{(x = 3 + t),(y = t),(z = -1 + t):}$

Grazie mille per l'aiuto in anticipo

[Magma1]

La domanda è di trovare un vettore $inRR^3$ ortogonale a $r$ e parallelo a $pi$?

Allora occorre risolvere il seguente sistema

${ ( <(x,y,z)((-1),(1),(0))> ),( <(x,y,z)((1),(1),(1))> ):}$

Dove il primo prodotto scalare impone l'ortogonalità con il vettore direttore della retta $r$, mentre il secondo prodotto scalare impone l'ortogonalità con il vettore (1,1,1) normale[nota]Dato un piano generico $pi:ax+by+cz+d=0$ allora il vettore $(a,b,c) è il vettore normale al piano.[/nota] al piano $pi$, cioè impone il parallelismo con il piano $pi$; quindi:

$ hArr{ ( y=x ),( z=-2x ):}$

Il vettore cercato è un qualsiasi multiplo di $(1,1,-2)$.