Rette e Piani
Ciao a tutti. Ho questo esercizio: "Dato il piano $ pi: x=0 $ , trovare ogni retta di $ pi $ che non passa per l'origine". Allora in poche parole dovrei trovare ogni retta che giace sul piano e non passa per l'origine, giusto? Io ho pensato a questo procedimento: il vettore direttore del piano è $ (1,0,0)$. Considero qualsiasi punto appartenente al piano del tipo $ (0,y,z) $ che non sia naturalmente $ (0,0,0) $. Per il calcolo della generica retta uso il punto $ (0,y,z) $ e come vettore direttore invece quello del piano, però non ne sono sicuro perché mi trovo ad utilizzare un vettore parallelo a quello del piano quindi troverei tutte le rette ortogonali. Sto sbagliando?
Risposte
A dire il vero, il vettore $ (1,0,0) $ è ortogonale alla giacitura di $ \pi $.
Infatti $ \pi $ corrisponde al piano coordinato $ [YZ] $ e una base della giacitura dell'asse $ X $ è $ \{(1,0,0)\} $.
Un modo per risolvere la questione consiste nel fare il seguente ragionamento.
Chiamiamo $ R $ la famiglia di rette cercate. Ovviamente, $ R \subset \pi $, per cui
$ R : \{ (x=0),(ax+by+cz+d=0) :} $
D'altronde, $ O \notin R $, per cui $ d \ne 0 $. Rimane solo da imporre il fatto che i due piani non siano paralleli; questo lo si può fare imponendo che i coefficienti $ b $ e $ c $ non siano contemporaneamente nulli, cioè $ (b,c) \in \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)} $.
Infatti $ \pi $ corrisponde al piano coordinato $ [YZ] $ e una base della giacitura dell'asse $ X $ è $ \{(1,0,0)\} $.
Un modo per risolvere la questione consiste nel fare il seguente ragionamento.
Chiamiamo $ R $ la famiglia di rette cercate. Ovviamente, $ R \subset \pi $, per cui
$ R : \{ (x=0),(ax+by+cz+d=0) :} $
D'altronde, $ O \notin R $, per cui $ d \ne 0 $. Rimane solo da imporre il fatto che i due piani non siano paralleli; questo lo si può fare imponendo che i coefficienti $ b $ e $ c $ non siano contemporaneamente nulli, cioè $ (b,c) \in \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)} $.
Perchè devo imporre la condizione che i due piani non siano paralleli tra loro?...e qualora volessi considerare questa famiglia di rette in forma parametrica?
Perché se i piani fossero paralleli $ R $ non sarebbe una retta.
In particolare, essendo $ d \ne 0 $ (ed essendo quindi i piani disgiunti), l'intersezione sarebbe l'insieme vuoto.
Per ottenere una forma parametrica di $ R $ basta risolvere il sistema lineare che abbiamo impostato.
In particolare, essendo $ d \ne 0 $ (ed essendo quindi i piani disgiunti), l'intersezione sarebbe l'insieme vuoto.
Per ottenere una forma parametrica di $ R $ basta risolvere il sistema lineare che abbiamo impostato.
Ah ecco grazie mille...ascolta potresti ritornare al post sugli endomorfismi, quello dei polinomi, se potresti darmi una mano con un altra funzione lineare...scusami magari se ti rompo le scatole 
, e comunque grazie miile ancora
, e comunque grazie miile ancora
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