Rette di un poligono
Ciao a tutti,
esiste un modo per individuare in modo rapido e automatico le equazioni delle rette che formano tutti gli n lati di un poligono?
Grazie
Simone
esiste un modo per individuare in modo rapido e automatico le equazioni delle rette che formano tutti gli n lati di un poligono?
Grazie
Simone
Risposte
Il poligono è regolare? Ci troviamo in che spazio? Uno spazio affine di dimensione 2?
Comunque se è regolare e ci troviamo in uno spazio affine di dimensioni 2 e si conosce il numero dei lati e almeno uno tra lato, raggio circonferenza iscritta e apotema la cosa non è difficile.
Comunque se è regolare e ci troviamo in uno spazio affine di dimensioni 2 e si conosce il numero dei lati e almeno uno tra lato, raggio circonferenza iscritta e apotema la cosa non è difficile.
In effetti hai ragione ho omesso un bel pò di informazioni.
Allora,
il poligono è regolare ed è in uno spazio di dimensione 2. Precisamente, il poligono dovrebbe trovarsi sul primo quadrante del piano cartesiano e il raggio della circonferenza circoscrittà è 0.5 e il centro è in (0.5,0.5), diciamo che come numero di lati mi andrebbe bene 52.
Sono sufficienti come informazioni?
Grazie
Simone
Allora,
il poligono è regolare ed è in uno spazio di dimensione 2. Precisamente, il poligono dovrebbe trovarsi sul primo quadrante del piano cartesiano e il raggio della circonferenza circoscrittà è 0.5 e il centro è in (0.5,0.5), diciamo che come numero di lati mi andrebbe bene 52.
Sono sufficienti come informazioni?
Grazie
Simone
No, mi servono le coordinate di un vertice (perché altrimenti le rette sarebbero determinate a meno di una rotazione).
È sufficiente trovare i vertici e poi scrivere la retta come combinazione lineare di due vertici consecutivi. In ogni caso il tuo poligono di 52 lati non è univocamente determinato. Qualsiasi rotazione intorno al suo centro di un poligono che rispetta le tue condizioni è un'altro poligono che rispetta le condizioni. Uso per comodità i numeri complessi (ti scriverò comunque anche l'equazione separando la parte reale da quella immaginaria).
Sia $\epsilon_{52} = e^{(2 pi)/(52)} = cos((2 pi)/(52)) + sin((2 pi)/(52)) i$ una radice primitiva $52$-esima dell'unità. A questo punto i $52$ numeri complessi $\{ 1, \epsilon_{52}, \epsilon_{52}^2, \epsilon_{52}^3, ..., \epsilon_{52}^51 \}$ sono disposti su un poligono regolare con 52 lati la cui circonferenza circoscritta è quella unitaria di centro $0$. Se moltiplico per $0.5$ e sommo $0.5 + 0.5i$ ottengo quindi un poligono che rispetta le tue condizioni. I vertici sono quindi:
$v_n = 0.5*\epsilon_{52}^n + 0.5 + 0.5i = 0.5*(cos((2 n pi)/(52)) + sin((2 n pi)/(52)) + 1 + i) = 0.5*(1 + cos((2 n pi)/(52))) + 0.5*(1 + sin((2 n pi)/(52)))i$
e le rette che stai cercando sono quindi:
$r_n = (1 - t) v_n + t v_{n+1}$
Per ruotare i poligoni sul loro centro è sufficiente aggiungere un angolo $\alpha$ all'interno dei coseni e seni nelle formule.
Sia $\epsilon_{52} = e^{(2 pi)/(52)} = cos((2 pi)/(52)) + sin((2 pi)/(52)) i$ una radice primitiva $52$-esima dell'unità. A questo punto i $52$ numeri complessi $\{ 1, \epsilon_{52}, \epsilon_{52}^2, \epsilon_{52}^3, ..., \epsilon_{52}^51 \}$ sono disposti su un poligono regolare con 52 lati la cui circonferenza circoscritta è quella unitaria di centro $0$. Se moltiplico per $0.5$ e sommo $0.5 + 0.5i$ ottengo quindi un poligono che rispetta le tue condizioni. I vertici sono quindi:
$v_n = 0.5*\epsilon_{52}^n + 0.5 + 0.5i = 0.5*(cos((2 n pi)/(52)) + sin((2 n pi)/(52)) + 1 + i) = 0.5*(1 + cos((2 n pi)/(52))) + 0.5*(1 + sin((2 n pi)/(52)))i$
e le rette che stai cercando sono quindi:
$r_n = (1 - t) v_n + t v_{n+1}$
Per ruotare i poligoni sul loro centro è sufficiente aggiungere un angolo $\alpha$ all'interno dei coseni e seni nelle formule.
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