Rette dello spazio

[Cantor99]

"scrivere le rette r passanti per $P(1,1,1)$ parallele al piano $π :y+√2z+1=0$ e formanti con l'asse delle $x$ un angolo di $60°$"

Detti $(l,m,n)$ i numeri direttori di $r$, ho subito la condizione $m+n√2=0$ e quindi
$r={(x=1+l*t),(y=1-n√2t),(z=1+nt):}$
Ora imponendo $\frac{π}{6}=arccos (<>)=arccos (\frac{l}{sqrt(l^2+3n^2)})$ ottengo $l=n$.

Ora però mi chiedo: ho fatto bene ad escludere la soluzione $l=-n$? Visto che $π$ è parallelo a $x$ e che l'insieme delle rette parallele a $π$ passanti per $P$ è il piano $π'$ passante per $P$ e parallelo a $π$, tale retta dovrebbe non esistere...cosa sbaglio?

Grazie per l'aiuto

[billyballo2123]

Non capisco l'ultima parte... se supponiamo che $(l,m,n)$ abbia norma $1$, allora sappiamo che il prodotto scalare tra $(l,m,n)$ e $(1,0,0)$ sarà uguale a $\cos 60°=1/2$, ovvero $l=1/2$. Dalle relazioni $m+n\sqrt{2}=0$ e $l^2+m^2+n^2=1$ si ottiene poi $n^2=1/4$. A questo punto ricavi due vettori direttori $(1,-\sqrt{2},1)$ e $(1,\sqrt{2},-1)$ e hai quindi trovato le due rette che soddisfano le condizioni imposte dal problema.

[Cantor99]

Ok, quindi dovevo integrare anche l'altra soluzione. Il punto è questo, mi spiego meglio.
-$π$ è parallelo a $x$
-$P$ non appartiene né a $π$ né a $x$
- la retta $r$ che soddisfa le mie condizioni deve essere parallela a $π$ e incidente $x$
Non riesco a crearmi un'immagine del problema, mi sembra che questa retta non possa esistere

[Cantor99]

Comunque sono andato su Geogebra 3D e ho constatato quanto fossi nel torto.

[billyballo2123]

Bene
quindi ora è tutto chiaro?

[Cantor99]

Sisi, ti ringrazio tanto

[billyballo2123]

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