Rette

[leffy13]

chi mi spiega il procedimento del seguente esercizio per favore??

tra le rette passanti per il punto A(1,1,2) trovare quelle che sono parallele al piano $\alpha$ di equazione $2x-y+z=1$ ed intersecano la retta r: $\{(x+y-z-1=0),(3x-y-z+1=0):}$

grazie

[Dorian1]

Sia $t$ la retta da trovare. Essa sarà data da $P+$ ($P$ punto, $u$ vettore). Possiamo gia supporre $P$=$A$=$((1),(1),(2))$
Come prima cosa troverei la giacitura del piano $alpha$... Essa conterrà quella della retta $t$ (visto che sono sottovarietà parallele...), in altri termini, se ${v,w}$ è una base del sottospazio direttore di $alpha$, il sottospazio direttore di $t$ sarà $$ con $a$,$b$ scalari... Quindi:

$v$=$((1),(2),(0))$ , $w$=$((-1),(0),(2))$ , $u$=$a((1),(2),(0))+b((-1),(0),(2))$

Rimane da fissare l'ultima condizione: si vuole che $t$ ed $r$ siano incidenti. Dato un generico punto di $r$:

$((0),(1),(0))+c((1),(1),(2))$

dobbiamo imporre l'esistenza di un punto dello spazio che ammetta le seguenti 2 scritture:

$((0),(1),(0))+c((1),(1),(2))$ = $((1),(1),(2)) + a((1),(2),(0))+b((-1),(0),(2))$

(a sinistra dell'uguaglianza dico che il punto deve stare in $r$, a destra in $t$...)

Questo è un sistema facilmente solubile, soddisfatto solo dalla terna $a$=$2/3$, $b$=$1/3$, $c$=$4/3$. Morale della favola:

$t$=$((1),(1),(2))+<((1),(4),(2))>$

[leffy13]

ti ringrazio tantissimo, pensavo qualcosa di piu semplice, devo vedermi alcune cose ancora. se poi nn capirò riscriverò. grazie ancora

[franced]

"leffy13":chi mi spiega il procedimento del seguente esercizio per favore??

tra le rette passanti per il punto A(1,1,2) trovare quelle che sono parallele al piano $\alpha$ di equazione $2x-y+z=1$ ed intersecano la retta r: $\{(x+y-z-1=0),(3x-y-z+1=0):}$

Ragiona così:

la retta $r$ ammette una parametrizzazione uguale a

$(x,y,z) = (0,1,0) + \lambda (1,1,2)$

ora devi imporre che il vettore differenza

$OP - OA$

(dove $P$ è un punto generico della retta $r$)

sia perpendicolare al vettore $(2,-1,1)$:

$(OP - OA) \cdot (2,-1,1) = 0$

Alla fine trovi l'equazione parametrica:

$(1,1,2) + t (1,4,2)$.

[Dorian1]

"leffy13":ti ringrazio tantissimo, pensavo qualcosa di piu semplice, devo vedermi alcune cose ancora. se poi nn capirò riscriverò. grazie ancora

E' stato un piacere!