Rettangolo iscritto in un triangolo

[H2O1]

Salve, potete aiutarmi a risolvere questo problema, ho visto su degli appunti che viene svolto utilizzando sinx e cosx e relazioni trigonometriche, ma vorrei sapere se c'è un altro metodo... se potete vorrei illustrati tutti e 2 i modi... Grazie.

Sia ABC un triangolo rettangolo in C e avente area S. Determinare l'area massima di un rettangolo inscritto nel triangolo se:
(a) un vertice del rettangolo coincide con C o
(b) un lato del rettangolo giace lungo l'ipotenusa AB:

[marco pichelli]

per quanto riguarda la domanda a) potresti sfruttare la geometria analitica disegnando sugli assi cartesiani il vertice C coincidente con l'origine degli assi e i cateti sugli assi stessi. L'ipotenusa sta sulla retta generica y=mx+q e pertanto i vertici hanno coordinate (-q/m,0)e (0,q) pertanto l'area del triangolo è: $-q^2/2m=S$ da cui ricavando m si ha l'equazione della retta: $y=-q^2/2Sx+q$. Quindi il punto generico del triangolo ha coordinate $(t, -q/2St+q)$. La funzione area è quindi $A(t)=t*(-q/2St+q)$ da cui derivando si ha che il massimo si ottiene per $t=S$.

[elgiovo]

Invece di utilizzare una generica retta $y=mx+q$ chiamerei $b$ (base) il cateto appoggiato sull'asse orizzontale, chiamiamolo delle $i$, e $h$ (altezza) quello appoggiato sull'asse verticale, l'asse delle $j$. L'ipotenusa è sovrapposta alla retta passante per $(0,h)$ e per $(b,0)$, ovvero $j=frac(h)(b)i+h$. Intersecando tale retta con $i=x$, con $0<=x<=b$, troviamo l'altezza del rettangolo di base $x$ inscritto al triangolo, che è $A=-frac(h)(b)x+h$, per cui l'area del rettangolo vale $x(-frac(h)(b)x+h)$. Massimizzando questa funzione di $x$ ponendo la sua derivata uguale a $0$, ottieni che l'area massima si ha quando $x=b/2$, ovvero metà della base.

[marco pichelli]

scusami ma non vedo tutta questa differenza tra i due metodi.......

[elgiovo]

Scusami, non avevo letto bene. Alla fine non si capisce un granchè qual è la soluzione.