Retta tangente alla sfera in un punto

[nabbopazzo]

Salve,
sono alle prese con un problemino di geometria dello spazio in cui non mi tornano i conti. Il testo è il seguente:
Data la sfera \(\displaystyle {x}^2+{y}^2+{z}^2+{x}-2{y}-{z}-7=0 \), trovare la retta tangente alla sfera nel punto \(\displaystyle {P}(1,-1,2) \) e ortogonale alla retta $\r: {(2x+y-z-3=0),(x-2y-2z+3=0):}\$

Io calcolo il centro della sfera e trovo il vettore CP, trovo il vettore direttore della retta r, poi considero una retta generica passante per P e pongo il suo vettore direttore generico \(\displaystyle (l,m,n) \) ortogonale sia a CP che r ma così trovo:

$\{(3l-4m+3n=0),(m+n=0):}\$

Intuitivamente direi che questa retta esiste ed è unica, ma praticamente trovo i parametri in funzione di n, per cui immagino ci sia un'altra condizione, ma non mi riesce di intuire quale. Qualcuno può aiutarmi?

[Quinzio]

Il tuo sistema definisce già una retta, hai usato l,m,n al posto delle usuali variabili.

[nabbopazzo]

Io ero convinto che fossero solo le condizioni per trovare la retta, non avevo pensato che il sistema definisse proprio tale retta. Però in questo modo non passa per il punto P se non aggiungo i termini noti -13 alla prima equazione e -1 alla seconda. Ma come giustifico l'imposizione di questi coefficienti?