Retta $ t $ passante per un punto e incidente $ r $
Buongiorno,
vi propongo questo esercizio di geometria che non sono ancora riuscito a completare.
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino la retta $ r $ passante per i punti $ A (2,-3,1) $ e $ B (3,-1,2) $.
Rappresentare la retta $ t $ passante per $ S(1,-1,-1) $ ortogonale e incidente la retta $ r $.
Mi sono trovato la rappresentazione parametrica della retta $ r $, dalla quale ho una terna di direttori che sono $ (1,2,1) $. Fatto ciò, per stabilire una retta di numeri che siano ortogonali ad essi, applico la definizione secondo la quale $(l,m,n) * (1,2,1) = 0 $ cioè $ l + 2m + n = 0 $.
Da cui ottengo che $ l = n $ e $ m = -l $ quindi un ipotetico vettore può essere $ (1,-1,1) $
Ora creo un sistema parametrico che dovrebbe essere il seguente:
$ { ( x = 1 + t ),( y = -1 - t ),( z = -1 + t ):} $
svolto...
$ { ( x - z - 2 = 0 ),( y + z + 2 = 0 ) :} $
Ora, qual è l'errore? Mi spiego meglio, dovrei trovarmi un sistema del genere:
$ { ( -6x + y + 4 z + 11 = 0 ),( x + 2y + z + 2 = 0 ) :} $
vi propongo questo esercizio di geometria che non sono ancora riuscito a completare.
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino la retta $ r $ passante per i punti $ A (2,-3,1) $ e $ B (3,-1,2) $.
Rappresentare la retta $ t $ passante per $ S(1,-1,-1) $ ortogonale e incidente la retta $ r $.
Mi sono trovato la rappresentazione parametrica della retta $ r $, dalla quale ho una terna di direttori che sono $ (1,2,1) $. Fatto ciò, per stabilire una retta di numeri che siano ortogonali ad essi, applico la definizione secondo la quale $(l,m,n) * (1,2,1) = 0 $ cioè $ l + 2m + n = 0 $.
Da cui ottengo che $ l = n $ e $ m = -l $ quindi un ipotetico vettore può essere $ (1,-1,1) $
Ora creo un sistema parametrico che dovrebbe essere il seguente:
$ { ( x = 1 + t ),( y = -1 - t ),( z = -1 + t ):} $
svolto...
$ { ( x - z - 2 = 0 ),( y + z + 2 = 0 ) :} $
Ora, qual è l'errore? Mi spiego meglio, dovrei trovarmi un sistema del genere:
$ { ( -6x + y + 4 z + 11 = 0 ),( x + 2y + z + 2 = 0 ) :} $
Risposte
Non ho controllato la tua soluzione, anche perchè preferisco uno sviluppo "geometrico" di questo tipo di problemi, però io farei così:
Costruisci il piano $pi$ per $S$ ortogonale $r$. Chimiamo $H$ il punto di intersezione di $pi$ con $r$. La retta cercata sarà la retta $[SH]$
Costruisci il piano $pi$ per $S$ ortogonale $r$. Chimiamo $H$ il punto di intersezione di $pi$ con $r$. La retta cercata sarà la retta $[SH]$
"delano":
Fatto ciò, per stabilire una retta di numeri che siano ortogonali ad essi, applico la definizione secondo la quale $(l,m,n) * (1,2,1) = 0 $ cioè $ l + 2m + n = 0 $.
Da cui ottengo che $ l = n $ e $ m = -l $ quindi un ipotetico vettore può essere $ (1,-1,1) $
Mi puoi giustificare questo passaggio? Io credo che l'errore sia qui!
Da quella condizione ottieni che $l=-n-2m$ ad esempio, ma non quello che scrivi tu!
Si, è come dici tu, ma poi?... È a quel punto che mi blocco :S
Ma non ti piace la risoluzione geometrica?
mistake89 per retta $[SH]$ intendi la retta passante per $S$ e $H$ con H punto di intersezione tra pigreco ed r??
"mistake89":
Ma non ti piace la risoluzione geometrica?
Bè, ho appena cominciato a svolgere esercizi di geometria e gli unici esempi che vedo sono quelli sulla flasariga del mio. Quindi non saprei come muovermi...
"mistake89":
Costruisci il piano $pi$ per $S$ ortogonale $r$. Chimiamo $H$ il punto di intersezione di $pi$ con $r$. La retta cercata sarà la retta $[SH]$
Tu sai come costruirti un piano passante per un punto perpendicolare ad una retta?
"m4551":
[quote="mistake89"]
Costruisci il piano $pi$ per $S$ ortogonale $r$. Chimiamo $H$ il punto di intersezione di $pi$ con $r$. La retta cercata sarà la retta $[SH]$
Tu sai come costruirti un piano passante per un punto perpendicolare ad una retta?[/quote]
Si, trovandomi una terna di numeri direttori di r. Poi imponendo il passaggio per il punto da cui ne segue l'equazione del piano... giusto?
La terna è $(1,2,1) $ da cui l'equazione $ x + 2y + z + d = 0 $
Impongo il passaggio per S: $1 + 2(-1) - 1 + d = 0 $ ottengo, $d=2$
Quindi il piano sarà $x+2y+z+2 = 0$
Impongo il passaggio per S: $1 + 2(-1) - 1 + d = 0 $ ottengo, $d=2$
Quindi il piano sarà $x+2y+z+2 = 0$
pazienta un attimo sto cercando di risolverlo anche io! visto ke devo ancora dare questo esame ci sono quasi 
"m4551":
pazienta un attimo sto cercando di risolverlo anche io! visto ke devo ancora dare questo esame ci sono quasi
Ok, come prima parte dovrebbe essere corretta, non trovi?
L'altra condizione ce l'hai applicando l'incidenza, cioè richiedendo che le rette giacciano sullo stesso piano.
mistake89 mi trovo il piano passante per $S(1,-1,-1)$ e perpendicolare a $Vr(1,2,1)$ con la formula:
$l(x-xo)+m(y-yo)+n(z-zo)$ e fino qui ci sono, adesso come faccio a trovarmi il punto di intersezione tra $pi$ e $r$?
$l(x-xo)+m(y-yo)+n(z-zo)$ e fino qui ci sono, adesso come faccio a trovarmi il punto di intersezione tra $pi$ e $r$?
Basta mettere a sistema il piano con la retta $r$
si a questo c'ero arrivato anche io, ma la retta $r$ la calcolo con la formula $(x-xo)/l=(y-yo)/m=(z-zo)/n$ mettendo a sistema con il piano ho due equazione e 3 incognite, tutto giusto?
Mi impongo il parametro e procedo con i calcoli. La retta $r$ sarà rappresentata da una sola equazione giusto?
Grazie per l'aiuto
Mi impongo il parametro e procedo con i calcoli. La retta $r$ sarà rappresentata da una sola equazione giusto?
Grazie per l'aiuto
"mistake89":
Basta mettere a sistema il piano con la retta $r$
Intendi la rappresentazione parametrica della retta? Dopo aver svolto i parametri mi trovo un cosa del tipo:
$ { ( x = z + 3 ),( y = 2z + 7 ):} $
che se messa a sistema col piano non da il risultato cercato...
no, tu calcoli prima la retta $r$ passante per $A$ $B$ e poi il piano perpendicolare a $Vr$ passante per $S$.
Metti a sistema piano e retta e ti trovi il punto dove si intersecano
Metti a sistema piano e retta e ti trovi il punto dove si intersecano
Si, ma io ho sia il piano che la retta, alla fine dovrei aspettarmi due equazioni dei due piani, ma non mi trovo...
me stanno a prende i nervi non mi essce ._.
Scrivete la retta $r=[AB]$. Essa avrà parametri di direzione $(1,2,1)$. Il piano ad essa ortogonale avrà quindi equazione $x+2y+z+k=0$. Per determinare $k$ imponete il passaggio per $S$, ottenendo così $k=2$.
Ora mettete a sistema $pi$ con $r$ troverete un punto $H(x_0,y_0,z_0)$. A questo punto dovrete solamente scrivere l'equazione della retta $[SH]$
Ora mettete a sistema $pi$ con $r$ troverete un punto $H(x_0,y_0,z_0)$. A questo punto dovrete solamente scrivere l'equazione della retta $[SH]$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo