Retta $ t $ passante per un punto e incidente $ r $
Buongiorno,
vi propongo questo esercizio di geometria che non sono ancora riuscito a completare.
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino la retta $ r $ passante per i punti $ A (2,-3,1) $ e $ B (3,-1,2) $.
Rappresentare la retta $ t $ passante per $ S(1,-1,-1) $ ortogonale e incidente la retta $ r $.
Mi sono trovato la rappresentazione parametrica della retta $ r $, dalla quale ho una terna di direttori che sono $ (1,2,1) $. Fatto ciò, per stabilire una retta di numeri che siano ortogonali ad essi, applico la definizione secondo la quale $(l,m,n) * (1,2,1) = 0 $ cioè $ l + 2m + n = 0 $.
Da cui ottengo che $ l = n $ e $ m = -l $ quindi un ipotetico vettore può essere $ (1,-1,1) $
Ora creo un sistema parametrico che dovrebbe essere il seguente:
$ { ( x = 1 + t ),( y = -1 - t ),( z = -1 + t ):} $
svolto...
$ { ( x - z - 2 = 0 ),( y + z + 2 = 0 ) :} $
Ora, qual è l'errore? Mi spiego meglio, dovrei trovarmi un sistema del genere:
$ { ( -6x + y + 4 z + 11 = 0 ),( x + 2y + z + 2 = 0 ) :} $
vi propongo questo esercizio di geometria che non sono ancora riuscito a completare.
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano monometrico ortogonale, si considerino la retta $ r $ passante per i punti $ A (2,-3,1) $ e $ B (3,-1,2) $.
Rappresentare la retta $ t $ passante per $ S(1,-1,-1) $ ortogonale e incidente la retta $ r $.
Mi sono trovato la rappresentazione parametrica della retta $ r $, dalla quale ho una terna di direttori che sono $ (1,2,1) $. Fatto ciò, per stabilire una retta di numeri che siano ortogonali ad essi, applico la definizione secondo la quale $(l,m,n) * (1,2,1) = 0 $ cioè $ l + 2m + n = 0 $.
Da cui ottengo che $ l = n $ e $ m = -l $ quindi un ipotetico vettore può essere $ (1,-1,1) $
Ora creo un sistema parametrico che dovrebbe essere il seguente:
$ { ( x = 1 + t ),( y = -1 - t ),( z = -1 + t ):} $
svolto...
$ { ( x - z - 2 = 0 ),( y + z + 2 = 0 ) :} $
Ora, qual è l'errore? Mi spiego meglio, dovrei trovarmi un sistema del genere:
$ { ( -6x + y + 4 z + 11 = 0 ),( x + 2y + z + 2 = 0 ) :} $
Risposte
fatto esattamente cosi, alloa ho sbagliato i calcoli ricontrollo 
Uhm... dovrò rivedere i calcoli anche io allora. D'oh!
mistake89 ho trovato la retta passante per AB:
$r:{ ( x-z-1=0 ),( y-2z+5 ):}$
Poi per trovarmi il punto di intersezione ho fatto il sistema:
${ ( x-z-1=0 ),( y-2z+5 ),(x+2y+z+2):}$ mi sono calcolato la soluzione:
$x=-7/6$
$y=2/3$
$z=-13/6$
Quindi la soluzione sarà: $H(-7, 4, -13)$
Adesso non devo far altro che calcolarmi la retta passante per $S(1,-1,-1)$ e per $H(-7,4,-13)$
Sicuramente l'errore sta sul sitema, mi sai dire se alemno il procedimento dell'esercizio è giusto?
Grazie per l'aiuto!
$r:{ ( x-z-1=0 ),( y-2z+5 ):}$
Poi per trovarmi il punto di intersezione ho fatto il sistema:
${ ( x-z-1=0 ),( y-2z+5 ),(x+2y+z+2):}$ mi sono calcolato la soluzione:
$x=-7/6$
$y=2/3$
$z=-13/6$
Quindi la soluzione sarà: $H(-7, 4, -13)$
Adesso non devo far altro che calcolarmi la retta passante per $S(1,-1,-1)$ e per $H(-7,4,-13)$
Sicuramente l'errore sta sul sitema, mi sai dire se alemno il procedimento dell'esercizio è giusto?
Grazie per l'aiuto!
Sì, il procedimento è giusto.
Però c'è un errore che volevo segnalare: il punto $(-7/6,2/3,-13/6)$ è ben diverso dal punto $(-7,4,-13)$. Non è corretto fare il minimo comune multiplo e poi semplificare...
Per convincerti di questo errore,sul piano cartesiano, cerca i punti $(1,1)$ e $(1/2,1/2)$ oppure $(-1,-1)$. Sono tutti ovviamente proporzionali ma son ben lontani dall'essere lo stesso punto!
Però c'è un errore che volevo segnalare: il punto $(-7/6,2/3,-13/6)$ è ben diverso dal punto $(-7,4,-13)$. Non è corretto fare il minimo comune multiplo e poi semplificare...
Per convincerti di questo errore,sul piano cartesiano, cerca i punti $(1,1)$ e $(1/2,1/2)$ oppure $(-1,-1)$. Sono tutti ovviamente proporzionali ma son ben lontani dall'essere lo stesso punto!
Hai pienamente ragione il punto cambia completamente, anche io avevo pensato a questo ma poi non soperchè ho tralasciato il tutto!
Grazie come sempre per l'aiuto mistake! ;D
Grazie come sempre per l'aiuto mistake! ;D
Si, ma con la rappresentazione che dite voi, si troverebbe un ulteriore sistema a due equazioni e tre incognite... Ovvero la rappresentazione di altri due piani che rappresentano la retta. A quel punto il risultato non è lo stesso, quale formula devo usare per ritrovarmi col risultato?
Allora per trovarti la retta come intersezione di piani passante per due punti devi usare la formula:
L'ho fatta con paint non sapevo come farla su quest sito vai al link:
http://img443.imageshack.us/img443/1937/formula.png
Poi ti calcoli il determinare di quelle due matrici ed hai la retta come intersezione di piani.
La metti a sistema con il piano $pi$ ed escono i punti che ti ho scritto sopra
L'ho fatta con paint non sapevo come farla su quest sito vai al link:
http://img443.imageshack.us/img443/1937/formula.png
Poi ti calcoli il determinare di quelle due matrici ed hai la retta come intersezione di piani.
La metti a sistema con il piano $pi$ ed escono i punti che ti ho scritto sopra
Si, ma fin qui l'ho fatto ieri... niente di nuovo. È che dopo aver trovato i punti, cerchi la retta passante per $S$ e $H$, giusto? Beh, non è la soluzione.
e allora non so, adesso sono a lavoro non ho tempo quando torno verifico
"delano":
Si, ma fin qui l'ho fatto ieri... niente di nuovo. È che dopo aver trovato i punti, cerchi la retta passante per $S$ e $H$, giusto? Beh, non è la soluzione.
Io non l'ho svolto perchè i conti non mi piacciono, ma il fatto che le equazioni non siano uguali non vuol dire che siano sbagliate, potrebbero essere proporzionali ad esempio. Fai così, prendi due punti distinti sulla retta trovata e vedi se appartengono alla tua soluzione. Se così non fosse allora hai sbagliato, altrimenti vuol dire che hai lo stesso "oggetto" descritto da due equazioni diverse.
Mistake appena torno verifico io le condizioni e vedo se il risultato è buono.
Provo anche a svolgere con il fascio di piani a dopo
Provo anche a svolgere con il fascio di piani a dopo
Ho capito come va risolto, avrei solo bisogno d'aiuto su un passaggio.
Abbiamo già stabilito la prima equazione del piano, per stabilire la seconda basta calcolare il determinante di:
$ | ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , -2 ),( l , m , n ) | = 0 $
Dove le prime due righe sono i direttori di r. Svolgendo si ha: $n-2m-l=0$
È qui che mi blocco, non sono capace di trovare la terna $(l,m,n)$
Una volta stabilita basterà creare il piano $pi$: $lx + my + nz + k = 0$, farlo passare per il punto $S$, e una volta stabilita la k, concludere l'esercizio.
Abbiamo già stabilito la prima equazione del piano, per stabilire la seconda basta calcolare il determinante di:
$ | ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , -2 ),( l , m , n ) | = 0 $
Dove le prime due righe sono i direttori di r. Svolgendo si ha: $n-2m-l=0$
È qui che mi blocco, non sono capace di trovare la terna $(l,m,n)$
Una volta stabilita basterà creare il piano $pi$: $lx + my + nz + k = 0$, farlo passare per il punto $S$, e una volta stabilita la k, concludere l'esercizio.
non far confusione con i siimboli, $(l,m,n)$ sono i parametri direttori della retta $(a,b,c) na normale del piano,
Un piano quindi è rappresentato da $ax+by+cz+d$
Avevo pensato di mettere a sistema così:
$ { ( a-2b-c=0 ),( a-b-c=0 ):} $
Ma non so se sia giusto, perchè ho usato i parametri direttori della retta su quelli del piano.
Prova poi fammi sapere
Un piano quindi è rappresentato da $ax+by+cz+d$
Avevo pensato di mettere a sistema così:
$ { ( a-2b-c=0 ),( a-b-c=0 ):} $
Ma non so se sia giusto, perchè ho usato i parametri direttori della retta su quelli del piano.
Prova poi fammi sapere
Temo non sia corretto :S
Stiamo da due giorni su questo esercizio e non c'è un'anima pia che ci aiuti ç___ç
Stiamo da due giorni su questo esercizio e non c'è un'anima pia che ci aiuti ç___ç
Ma scusa la soluzione che ti ho fornito non ti aggrada?
Hai verificato quello che ti dicevo qualche post fa?
Hai verificato quello che ti dicevo qualche post fa?
"mistake89":
Ma scusa la soluzione che ti ho fornito non ti aggrada?
Hai verificato quello che ti dicevo qualche post fa?
Sì, ma come hai più volte detto, io preferisco la risoluzione algebrica.
delano c'è una differenza principale tra la soluzione algebrica e quella geometrica.
Quella algembrica si fa e basta, quella geometrica si capisce.
Dico questo perchè anche io a volte risolvo a "macchinetta" ma mi rendo conto dei limiti che ho su alcuni problemi, dove si fermano le formule e subentra il ragionamento
Quella algembrica si fa e basta, quella geometrica si capisce.
Dico questo perchè anche io a volte risolvo a "macchinetta" ma mi rendo conto dei limiti che ho su alcuni problemi, dove si fermano le formule e subentra il ragionamento
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