Retta simmetrica di un'altra rispetto ad un piano
Buona sera a tutti, sto provando e riprovando a risolvere questo esercizio, soprattutto cercando un metodo efficiente di risoluzione.
L'esercizio consiste nel trovare la retta simmetrica alla retta r: $ { ( x=t ),( y=2-t ),( z=t ):} $ rispetto al piano di equazione: x-y=0.
Ora io per risolverlo ho tentato varie strade, quali per esempio quella di verificare che la retta e il piano non siano paralleli calcolando i generatori rispettivamente della retta e del piano che sono risultati non essere proporzionali. Ho quindi trovato il punto di intersezione tra la retta e il piano. Arrivata a questo punto ho avuto molte indecisioni su come procedere. Questo è un metodo a cui ho pensato:
Trovare un punto generico P(t,2-t,t) e calcolare la distanza tra questo punto e il piano. Poi però uguagliando la distanza trovata alla distanza tra il punto simmetrico di P e il punto appartenente al piano e ortogonale a P non riesco a ricavare le coordinate del nuovo punto. La retta simmetrica sarebbe la retta passante per il simmetrico a P e il punto di intersezione tra r e il piano.
Secondo me ci deve essere un modo per lavorare con i fasci di piani anzichè con i punti e le distanze ma non riesco a capire come applicare una simile idea.
Mi sareste di grande aiuto dandomi qualche dritta!
Spero di essere stata esaustiva e non troppo ingarbugliata!
Grazie!
L'esercizio consiste nel trovare la retta simmetrica alla retta r: $ { ( x=t ),( y=2-t ),( z=t ):} $ rispetto al piano di equazione: x-y=0.
Ora io per risolverlo ho tentato varie strade, quali per esempio quella di verificare che la retta e il piano non siano paralleli calcolando i generatori rispettivamente della retta e del piano che sono risultati non essere proporzionali. Ho quindi trovato il punto di intersezione tra la retta e il piano. Arrivata a questo punto ho avuto molte indecisioni su come procedere. Questo è un metodo a cui ho pensato:
Trovare un punto generico P(t,2-t,t) e calcolare la distanza tra questo punto e il piano. Poi però uguagliando la distanza trovata alla distanza tra il punto simmetrico di P e il punto appartenente al piano e ortogonale a P non riesco a ricavare le coordinate del nuovo punto. La retta simmetrica sarebbe la retta passante per il simmetrico a P e il punto di intersezione tra r e il piano.
Secondo me ci deve essere un modo per lavorare con i fasci di piani anzichè con i punti e le distanze ma non riesco a capire come applicare una simile idea.
Mi sareste di grande aiuto dandomi qualche dritta!
Spero di essere stata esaustiva e non troppo ingarbugliata!
Grazie!
Risposte
"igp91":
Buona sera a tutti, sto provando e riprovando a risolvere questo esercizio, soprattutto cercando un metodo efficiente di risoluzione.
L'esercizio consiste nel trovare la retta simmetrica alla retta r: $ { ( x=t ),( y=2-t ),( z=t ):} $ rispetto al piano di equazione: x-y=0.
Ora io per risolverlo ho tentato varie strade, quali per esempio quella di verificare che la retta e il piano non siano paralleli calcolando i generatori rispettivamente della retta e del piano che sono risultati non essere proporzionali. Ho quindi trovato il punto di intersezione tra la retta e il piano. Arrivata a questo punto ho avuto molte indecisioni su come procedere. Questo è un metodo a cui ho pensato:
Trovare un punto generico P(t,2-t,t) e calcolare la distanza tra questo punto e il piano. Poi però uguagliando la distanza trovata alla distanza tra il punto simmetrico di P e il punto appartenente al piano e ortogonale a P non riesco a ricavare le coordinate del nuovo punto. La retta simmetrica sarebbe la retta passante per il simmetrico a P e il punto di intersezione tra r e il piano.
Secondo me ci deve essere un modo per lavorare con i fasci di piani anzichè con i punti e le distanze ma non riesco a capire come applicare una simile idea.
Mi sareste di grande aiuto dandomi qualche dritta!
Spero di essere stata esaustiva e non troppo ingarbugliata!
Grazie!
Io ho fatto così.
1. mi sono calcolata l'equazione della retta perpendicolare al piano e passante per un punto di A (che determini dando un valore a t, ad esempio t=0)
2. Intersecando la retta che ho trovato con il piano (questo è il punto simmetrico H)
3. Ho A, H (punto medio). Posso calcolarmi A', punto simmetrico di A rispetto ah H.
4. Compio lo stesso procedimento per un un altro punto della retta di partenza, dando anche questa volta un valore arbitrario a t (stavolta ad esempio ponendo t=1)
alla fine avrai due punti e una retta da determinare. Per due punti passa una ed una sola retta.
Penso che sai come determinare la sua equazione.
Penso che sai come determinare la sua equazione.
Grazie... alla fine avevo risolto praticamente nello stesso modo;)
Nulla. Felice che tu abbia risolto!
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