Retta proiettiva complessa e 2-sfera
Salve a tutti.
Sto tentando di scoprire da dove salta fuori questa mappa: $$f:\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \rightarrow S^2 $$ $$ [z_0,z_1] \longmapsto (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{
\bar{z_0}z_1 - z_0\bar{z_1}}{i(|z_0|^2 + |z_1|^2)},\frac{\bar{z_0}z_1+z_0\bar{z_1}}{|z_0|^2 + |z_1|^2})$$
Dove $$(\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{
\bar{z_0}z_1 - z_0\bar{z_1}}{i(|z_0|^2 + |z_1|^2)},\frac{\bar{z_0}z_1+z_0\bar{z_1}}{|z_0|^2 + |z_1|^2}) = (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Im}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Re}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2})$$
Voglio dimostrare che è biunivoca (che è continua si vede già). Conosco $$\pi: (\mathbb{C}^2-\{0\})\rightarrow (\mathbb{C}^2-\{0\})/_{\sim}$$
Per poter applicare il teorema fondamentale delle identificazioni, mi servirebbe sapere $\tilde{f}: (\mathbb{C}^2 - \{0\})\rightarrow S^2$ che sia surgettiva (e continua ovviamente!).
Ho pensato che se la $\tilde(f)$ fosse questa: $$\tilde{f}: (z_0,z_1)\longmapsto (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Im}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Re}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2})$$
sarebbe continua e costante sulle fibre di $\pi$ (e surgettiva, sospetto... vedi PS)), infatti verificherebbe già ad occhio che:$$\tilde{f}(v)=\tilde{f}(w) \iff w \in \pi^{-1}([v])$$
Il problema è:
1)è giusto prendere quella sopra come $\tilde{f}$?
2)da dove salta fuori l'identificazione $f$? Per favore mi date un riferimento perchè io possa vedere da dove salta fuori?
PS: riguardo al punto 2) Credo di aver intuito che $\tilde{f}$ sia la versione su $\mathbb{C}^2$ dell'applicazione $\phi: (\mathbb{R}^3-\{0\}) \rightarrow S^2$ definita come segue: $\phi: v \mapsto \frac{v}{|v|}$, ma è possibile che mi sfugga qualcosa, perchè $(\mathbb{R}^3 - \{0\})$ ha una sola dimensione in più rispetto ad $S^2$, mentre $\mathbb{C}^2$ ne avrebbe 2, come varietà...Comunque, se ho ragione, la surgettività di $\tilde{f}$ segue da questa analogia credo.
Grazie in anticipo per un eventuale aiuto.
Sto tentando di scoprire da dove salta fuori questa mappa: $$f:\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \rightarrow S^2 $$ $$ [z_0,z_1] \longmapsto (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{
\bar{z_0}z_1 - z_0\bar{z_1}}{i(|z_0|^2 + |z_1|^2)},\frac{\bar{z_0}z_1+z_0\bar{z_1}}{|z_0|^2 + |z_1|^2})$$
Dove $$(\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{
\bar{z_0}z_1 - z_0\bar{z_1}}{i(|z_0|^2 + |z_1|^2)},\frac{\bar{z_0}z_1+z_0\bar{z_1}}{|z_0|^2 + |z_1|^2}) = (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Im}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Re}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2})$$
Voglio dimostrare che è biunivoca (che è continua si vede già). Conosco $$\pi: (\mathbb{C}^2-\{0\})\rightarrow (\mathbb{C}^2-\{0\})/_{\sim}$$
Per poter applicare il teorema fondamentale delle identificazioni, mi servirebbe sapere $\tilde{f}: (\mathbb{C}^2 - \{0\})\rightarrow S^2$ che sia surgettiva (e continua ovviamente!).
Ho pensato che se la $\tilde(f)$ fosse questa: $$\tilde{f}: (z_0,z_1)\longmapsto (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Im}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Re}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2})$$
sarebbe continua e costante sulle fibre di $\pi$ (e surgettiva, sospetto... vedi PS)), infatti verificherebbe già ad occhio che:$$\tilde{f}(v)=\tilde{f}(w) \iff w \in \pi^{-1}([v])$$
Il problema è:
1)è giusto prendere quella sopra come $\tilde{f}$?
2)da dove salta fuori l'identificazione $f$? Per favore mi date un riferimento perchè io possa vedere da dove salta fuori?
PS: riguardo al punto 2) Credo di aver intuito che $\tilde{f}$ sia la versione su $\mathbb{C}^2$ dell'applicazione $\phi: (\mathbb{R}^3-\{0\}) \rightarrow S^2$ definita come segue: $\phi: v \mapsto \frac{v}{|v|}$, ma è possibile che mi sfugga qualcosa, perchè $(\mathbb{R}^3 - \{0\})$ ha una sola dimensione in più rispetto ad $S^2$, mentre $\mathbb{C}^2$ ne avrebbe 2, come varietà...Comunque, se ho ragione, la surgettività di $\tilde{f}$ segue da questa analogia credo.
Grazie in anticipo per un eventuale aiuto.
Risposte
"dissonance":
http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection#Complex_analysis
HTH
Grazie dell'aiuto Dissonance. Comunque avevo già visto quella formula. Fra l'altro, quella che indichi tu, viene fuori semplicemente prendendo la proiezione stereografica dalla sfera $S^2-\{N\}$ al piano reale $\mathbb{R}^2$, semplicemente sostituendo a $x^2+y^2$ il valore $\zeta\bar{\zeta}$ e utilizzando l'identificazione: $\(x,y,0) \mapsto x+iy:=\zeta$, dove $(x,y,0)$ è la coordinata nel piano reale del proiettato di un punto della sfera.
Il mio problema è proprio in questo. Se sto proiettando $S^2-\{N\}$ su $\mathbb{R}^2$, allora posso vedere $\mathbb{R}^2$ come se fosse $\mathbb{C}$. Qui però ho $\mathbb{C}^2$, non so se sono riuscito a spiegare il mio dubbio.
Inoltre, quando voglio dimostrare l'omeomorfismo tra $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ ed $S^2$, utilizzando la proiezione stereografica, di solito posso utilizzare una funzione continua e suriettiva $\mathbb{R}^3-\{0\}\rightarrow S^2$ fatta così:
$v\mapsto \frac{v}{|| v ||_2}$,
al fine di utilizzare i fatti sulle topologie quoziente per concludere la dimostrazione (come il teorema delle identificazioni).
Ho il dubbio che, quella che ho scritto io all'inizio del topic (la $\tilde{f}$ insomma), sia una variante complessa di quest'ultima che ho scritto (in dimensione maggiore, peraltro).
Vorrei sapere se è così e perchè, eventualmente, si arriva alla formula all'inizio del topic.
Buh, l'unica cosa che posso dire è che nelle parti immaginarie manca una $i$. Per il resto non so proprio niente, purtroppo.
"dissonance":
nelle parti immaginarie manca una $i$
Cosa intendi?
"Isaac888":
Salve a tutti.
Sto tentando di scoprire da dove salta fuori questa mappa: $$f:\mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \rightarrow S^2 $$ $$ [z_0,z_1] \longmapsto (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{
\bar{z_0}z_1 - z_0\bar{z_1}}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{\bar{z_0}z_1+z_0\bar{z_1}}{|z_0|^2 + |z_1|^2})$$
Dove $$(\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{
\bar{z_0}z_1 - z_0\bar{z_1}}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{\bar{z_0}z_1+z_0\bar{z_1}}{|z_0|^2 + |z_1|^2}) = (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Im}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Re}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2})$$
\(2\mathfrak{Im}(z_0\bar{z_1})=(z_0\bar{z_1}-z_1\bar{z_0})\cdot \frac{1}{i}\).
Hai ragione, correggo subito!
Ho trovato questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformaz ... proiettiva
Quando parla di "trasformazione proiettiva" sembra confermare la mia supposizione. Solo che non capisco in che termini
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{z_0}{z_1} \in \hat \mathbb{C}$
della pagina di Wikipedia, possa essere imparentato con: $$ (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Im}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Re}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2}) \in S^2$$
Sento puzza di birapporto e trasformazioni di Möbius...
Ho trovato questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformaz ... proiettiva
Quando parla di "trasformazione proiettiva" sembra confermare la mia supposizione. Solo che non capisco in che termini
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{z_0}{z_1} \in \hat \mathbb{C}$
della pagina di Wikipedia, possa essere imparentato con: $$ (\frac{|z_0|^2 - |z_1|^2}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Im}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2},\frac{2\mathfrak{Re}(z_0\bar{z_1})}{|z_0|^2 + |z_1|^2}) \in S^2$$
Sento puzza di birapporto e trasformazioni di Möbius...
"Isaac888":
[quote="dissonance"]http://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection#Complex_analysis
HTH
Grazie dell'aiuto Dissonance. Comunque avevo già visto quella formula. Fra l'altro, quella che indichi tu, viene fuori semplicemente prendendo la proiezione stereografica dalla sfera $S^2-\{N\}$ al piano reale $\mathbb{R}^2$, semplicemente sostituendo a $x^2+y^2$ il valore $\zeta\bar{\zeta}$ e utilizzando l'identificazione: $\(x,y,0) \mapsto x+iy:=\zeta$, dove $(x,y,0)$ è la coordinata nel piano reale del proiettato di un punto della sfera. [/quote]
Credo di aver capito. Chiedo conferme.
Procedendo come dico nella citazione ottengo una mappa $\psi: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{S}^2 - \{(0,0,1)\}$ fatta in questo modo: $$ \psi: \zeta \mapsto (\frac{2\mathfrak{Re}(\zeta)}{1+|\zeta \bar{\zeta}|^2},\frac{2\mathfrak{Im}(\zeta)}{1+|\zeta \bar{\zeta}|^2}, \frac{\zeta \bar{\zeta}-1}{1+\zeta \bar{\zeta}}) $$
A questo punto "estendo" la funzione $\psi$ alla retta proiettiva (Vorrei dirlo come si deve ma non so come fare. Se qualcuno mi potesse aiutare lo ringrazierei molto).
So che $\forall \zeta \in \mathbb{C}$ posso prendere la coppia di numeri complessi $(z_0,z_1)$ tale che $z_1 \ne 0$ e tale che $\zeta = \frac{z_0}{z_1}$ e sostituendo a $\zeta$ il valore $\frac{z_0}{z_1}$ ottengo la formulazione che ho scritto all'inizio del topic.
Per quanto riguarda il punto all'infinito $\zeta=\infty$, lo associo al punto $[0,1]\in \mathbb{P}(\mathbb{C})$ ed osservo che questo punto viene mandato proprio in $(0,0,1)$ sulla sfera $\mathbb{S}^2$. Così ho trovato una funzione suriettiva da $\mathbb{P}(\mathbb{C})$ in $\mathbb{S}^2$.
Come faccio a dire "per bene" tutta questa idea usando le proprietà del birapporto? Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo