Retta proiettiva
Perdonate la domanda banale e forse un po' confusionaria.
Sto studiando le equazioni parametriche di un sottospazio proiettivo e mi si porta questo esempio:
Sia $P^2(\RR)$ con coordinate omogenee standard; siano $A=[1,2,0]$ e $B=[-1,1,3]$. La retta passante per A e B è il sottospazio proiettivo $r=L(A,B)=P(<1,2,0>,<-1,1,3>)$ e ha equazioni parametriche:
${ ( x_0=lambda-mu ),( x_1=2lambda+mu ),( x_2=3mu ):}$
Ponendo $v_1=e_0+2e_1+0e_3$ e $v_2=-e_0+e_1+3e_2$ (dove $e_1,e_2,e_3$ è la base canonica di $\RR^3$) si ha che l'equazione vettoriale (o parametrica) è
$r:lambdav_1+muv_2$
Ad esempio per $(lambda,mu)=(1,-2)$ otteniamo il punto $C=[3,0,-6]=[1,0,-2]$ appartenente a $r$.
Non mi è chiaro il disegno. E' una retta proiettiva ma perché per la rappresentazione nel piano ($x_1,x_2$) considera i punti $A(2,0)$ e $B(-1,-3)$? "che fine fa $x_0$" nella rappresentazione? Perché le coordinate di $B$ sono negative? E' evidente la correlazione con i punti proiettivi ma non capisco come.
E poi perché per il punto C è vero che $(0,-2)$ appartiene alla retta ma $(0,-6)$ no? Non è la stessa classe di equivalenza? Perché ha dovuto trovare un vettore proporzionale affinché questo potesse appartenere? C'è un motivo nella scelta del coefficiente di proporzionalità? Non poteva scrivere $C=[1/2,0,-1]$?
Vi ringrazio per il vostro tempo!
Sto studiando le equazioni parametriche di un sottospazio proiettivo e mi si porta questo esempio:
Sia $P^2(\RR)$ con coordinate omogenee standard; siano $A=[1,2,0]$ e $B=[-1,1,3]$. La retta passante per A e B è il sottospazio proiettivo $r=L(A,B)=P(<1,2,0>,<-1,1,3>)$ e ha equazioni parametriche:
${ ( x_0=lambda-mu ),( x_1=2lambda+mu ),( x_2=3mu ):}$
Ponendo $v_1=e_0+2e_1+0e_3$ e $v_2=-e_0+e_1+3e_2$ (dove $e_1,e_2,e_3$ è la base canonica di $\RR^3$) si ha che l'equazione vettoriale (o parametrica) è
$r:lambdav_1+muv_2$
Ad esempio per $(lambda,mu)=(1,-2)$ otteniamo il punto $C=[3,0,-6]=[1,0,-2]$ appartenente a $r$.
Non mi è chiaro il disegno. E' una retta proiettiva ma perché per la rappresentazione nel piano ($x_1,x_2$) considera i punti $A(2,0)$ e $B(-1,-3)$? "che fine fa $x_0$" nella rappresentazione? Perché le coordinate di $B$ sono negative? E' evidente la correlazione con i punti proiettivi ma non capisco come.
E poi perché per il punto C è vero che $(0,-2)$ appartiene alla retta ma $(0,-6)$ no? Non è la stessa classe di equivalenza? Perché ha dovuto trovare un vettore proporzionale affinché questo potesse appartenere? C'è un motivo nella scelta del coefficiente di proporzionalità? Non poteva scrivere $C=[1/2,0,-1]$?
Vi ringrazio per il vostro tempo!
Risposte
evidentemente la proiezione viene fatta sul piano $x_0 = 1$.
Ecco perche'
Il punto $B= (-1, 1, 3)$ viene moltiplicato per $-1$ affinche' la coordinata $x_0$ diventi $1$.
L'idea di base a cui devi pensare e' che nell'origine $(0,0,0)$ c'e' un proiettore di immagini come quello usato nei cinema, e lo schermo e' posto in $x_0 = 1$.
Detto cio', io non sono molto preparato in questo campo, ma e' chiaro che alcune spiegazioni alle tue domande sono quelle che ti ho dato.
Ecco perche'
le coordinate di $B$ sono negativee
che fine fa $x_0$ ?
Il punto $B= (-1, 1, 3)$ viene moltiplicato per $-1$ affinche' la coordinata $x_0$ diventi $1$.
L'idea di base a cui devi pensare e' che nell'origine $(0,0,0)$ c'e' un proiettore di immagini come quello usato nei cinema, e lo schermo e' posto in $x_0 = 1$.
Detto cio', io non sono molto preparato in questo campo, ma e' chiaro che alcune spiegazioni alle tue domande sono quelle che ti ho dato.
...aggiungo che tu @paolo1712 non ti devi confondere tra coordinate omogenee e coordinate affini!
Perdona se ti rispondo con ritardo. Grazie per la risposta e hai ragione sulla confusione, ho fatto lo stesso errore in passato tra coordinate di uno spazio vettoriale e quelle affini, probabilmente pecco nella teoria.
L'analogia con il proiettore è stata più che efficace
L'analogia con il proiettore è stata più che efficace
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