Retta perpendicolare a due rette sghembe
Devo trovare la retta r' perpendicolare a r $\{(x=1),(y=2t+2),(z=-2t):}$ le cui equazioni cartesiane sono $\{(x=1),(y+z-2=0):}$ e a s $\{(x-y+2=0),(x+y+z=0):}$ . In realtà il professore l'aveva già svolto in una lezione, solo che oggi ricontrollando il tutto mi vengono risultati diversi.
In pratica il professore è andato a procedere cosi:
-Trovare piano $\alpha$ contente r, parallelo a s e contenente il punto O. Il professore usa la formula del piano parallelo alle due rette e passante per un punto P, trovando cosi $x-y+z+1=0$. Io invece ho pensato che potrei trovare lo stesso risultato se facessi il fascio di piani di r, cioè $ (x-1)+k(y+z-2)=0$ e trovando i coefficienti = $(1,k,k)$.Poi faccio il prodotto scalare dei coefficienti con i parametri direttori della retta s, ottenendo $K=1$,e quindi trovando $\alpha$=$x+y+z-3=0$.
Poi bisogna trovare anche il piano $\alpha'$ contente s, parallelo a r e contente il punto O. Il professore utilizzando la stessa formula trova $x-y+z+2=0$, io invece $x+y+z=0$.
-In seguito bisogna trovare il piano $\beta$ contenente r e perpendicolare ad $\alpha$ e il piano $\beta'$ contenente s e perpendicolare a $\alpha'$.
L'intersezione tra i due compongono la retta cercata r'. Al professore vengono dei risultati diversi dai miei.
Non capisco perchè mi vengono risultati diversi, ho sbagliato qualche calcolo? Più tardi ho pensato di provare a usare lo stesso metodo del professore per trovare il piano $\alpha$, ma mi viene comunque $x+y+z-3=0$.
Inoltre esiste un altro metodo più semplice per trovare questa retta r'? Perchè cosi mi sembra troppo laborioso.
In pratica il professore è andato a procedere cosi:
-Trovare piano $\alpha$ contente r, parallelo a s e contenente il punto O. Il professore usa la formula del piano parallelo alle due rette e passante per un punto P, trovando cosi $x-y+z+1=0$. Io invece ho pensato che potrei trovare lo stesso risultato se facessi il fascio di piani di r, cioè $ (x-1)+k(y+z-2)=0$ e trovando i coefficienti = $(1,k,k)$.Poi faccio il prodotto scalare dei coefficienti con i parametri direttori della retta s, ottenendo $K=1$,e quindi trovando $\alpha$=$x+y+z-3=0$.
Poi bisogna trovare anche il piano $\alpha'$ contente s, parallelo a r e contente il punto O. Il professore utilizzando la stessa formula trova $x-y+z+2=0$, io invece $x+y+z=0$.
-In seguito bisogna trovare il piano $\beta$ contenente r e perpendicolare ad $\alpha$ e il piano $\beta'$ contenente s e perpendicolare a $\alpha'$.
L'intersezione tra i due compongono la retta cercata r'. Al professore vengono dei risultati diversi dai miei.
Non capisco perchè mi vengono risultati diversi, ho sbagliato qualche calcolo? Più tardi ho pensato di provare a usare lo stesso metodo del professore per trovare il piano $\alpha$, ma mi viene comunque $x+y+z-3=0$.
Inoltre esiste un altro metodo più semplice per trovare questa retta r'? Perchè cosi mi sembra troppo laborioso.
Risposte
Io avrei fatto come segue.
I vettori direzionali di $r$ e di $s$ sono:
$v_r=(0,1,-1); v_s=(1,1,-2)$
I punti generici di $r,s$ sono:
$R(1,2t+2,-2t),S(u,u+2,-2u-2)$
Pertanto il vettore direzionale della retta $RS$ ( che è quella che incide entrambe le rette $r,s$) è:
$S-R=(u-1,u-2t,-2u+2t-2)$
Ora occorre imporre che tale vettore sia normale sia ad $v_r$ che ad $v_s$ e cioé:
\begin{cases}v_r°(S-R)=0\\v_s°(S-R)=0\end{cases} [il ° indica il prodotto scalare]
Facendo i dovuti calcoli si ha il sistema:
\begin{cases}3u-4t=-2\\2u-2t=-1\end{cases}
la cui soluzione è : $u=0,t=1/2$
Ne segue che :
$R=(1,3,-1),S=(0,2,-2)$
e le equazioni della retta RS richiesta sono :
\begin{cases}x=1+\lambda\\y=3+\lambda\\z=-1+\lambda\end{cases}
o si vuole:
\begin{cases}x=z+2\\y=z+4\end{cases}
I vettori direzionali di $r$ e di $s$ sono:
$v_r=(0,1,-1); v_s=(1,1,-2)$
I punti generici di $r,s$ sono:
$R(1,2t+2,-2t),S(u,u+2,-2u-2)$
Pertanto il vettore direzionale della retta $RS$ ( che è quella che incide entrambe le rette $r,s$) è:
$S-R=(u-1,u-2t,-2u+2t-2)$
Ora occorre imporre che tale vettore sia normale sia ad $v_r$ che ad $v_s$ e cioé:
\begin{cases}v_r°(S-R)=0\\v_s°(S-R)=0\end{cases} [il ° indica il prodotto scalare]
Facendo i dovuti calcoli si ha il sistema:
\begin{cases}3u-4t=-2\\2u-2t=-1\end{cases}
la cui soluzione è : $u=0,t=1/2$
Ne segue che :
$R=(1,3,-1),S=(0,2,-2)$
e le equazioni della retta RS richiesta sono :
\begin{cases}x=1+\lambda\\y=3+\lambda\\z=-1+\lambda\end{cases}
o si vuole:
\begin{cases}x=z+2\\y=z+4\end{cases}
mm ok, grazie sandroroma ma non riesco a capire nei tuoi passaggi una cosa, come hai fatto a capire che il vettore direzionale di RS è dato semplicemente da $ R-S$ ? Inoltre questa RS è anche perpendicolare a R e a S?
Ho anche un altro dubbio, è vero che esiste una sola retta incidente e perpendicolare a due rette sghembe?
Ho anche un altro dubbio, è vero che esiste una sola retta incidente e perpendicolare a due rette sghembe?
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