Retta per un punto ed Ortogonale ad r
Ancora una volta ciao a tutti! Volevo solo chidere un chiarimento circa la mia risoluzione di un problema.
il problema chiede: "Scrivere una parametrizzazione della retta passante per R(1, 1,−1) e incidente ortogonalmente a r."
sapendo che la parametrizzazione di r é
$x=1+2t$
$y=3t$
$z=2t$
Io pensavo di risolverlo creando una generica retta passante per R e // a r chiamata ad esempio s
per poi imporre la condizione di perpendicolarità tra s ed il vettore direttore di r attraverso il prodotto scalare.
$(1+2t; 3t; 2+t)o(2; 3; 1)=0$
$2+4t + 9t + 2+t=0$
$t=-4/14$
sostituendo ora il t trovato nella parametrizzazione di s si ha che il vettore direttore della s perpendicolare a r è:
(3/7;-6/7;12/7) quindi una parametrizzazione di s ortogonale a r è
(1+3/7u; -6/7u; 2+12/7u)
questo procedimento è corretto oppure ho commesso qualche errore? grazie in anticipo
il problema chiede: "Scrivere una parametrizzazione della retta passante per R(1, 1,−1) e incidente ortogonalmente a r."
sapendo che la parametrizzazione di r é
$x=1+2t$
$y=3t$
$z=2t$
Io pensavo di risolverlo creando una generica retta passante per R e // a r chiamata ad esempio s
per poi imporre la condizione di perpendicolarità tra s ed il vettore direttore di r attraverso il prodotto scalare.
$(1+2t; 3t; 2+t)o(2; 3; 1)=0$
$2+4t + 9t + 2+t=0$
$t=-4/14$
sostituendo ora il t trovato nella parametrizzazione di s si ha che il vettore direttore della s perpendicolare a r è:
(3/7;-6/7;12/7) quindi una parametrizzazione di s ortogonale a r è
(1+3/7u; -6/7u; 2+12/7u)
questo procedimento è corretto oppure ho commesso qualche errore? grazie in anticipo
Risposte
"Asch":
il problema chiede: "Scrivere una parametrizzazione della retta passante per R(1, 1,−1) e incidente ortogonalmente a r."
sapendo che la parametrizzazione di r é
$x=1+2t$
$y=3t$
$z=2t$
Intersecando la retta $r$ con il piano ortogonale a $r$ e passante per il punto $R$
trovi la proiezione $H$ di $R$ su $r$.
La retta cercata passa per $H$ e $R$.
Esistono almeno due modi per risolvere l'esercizio:
Consideri il generico punto Q della retta retta, sia Q(1+2t,3t,2t).
Calcoli i parametri direttori della retta RQ, essi sono (2t,3t-1,2t+1).
Imponi che la retta per RQ e la retta r siano ortogonali, quindi (2t,3t-1,2t+1)(2,3,2)=0. Si trova t=1/17
Quindi la retta ortogonale a r e passante per R è la seguente retta n:
x=1+(2/17)t
y=1-(14/17)t
z=-1+(19/17)t
Tale retta n incontra la retta r nel punto Q(19/17,3/17,2/17)
SECONDO METODO
Fascio di piani per r e imponi il passaggio del fascio per R. Ottieni un piano alfa.
Stella di piano per R a(x-1)+b(y-1)+c(z+1)=0 e con (a,b,c) proprio coincidenti (o proporzionali) ai parametri direttori di r. trovi un secondo piano beta.
L'intersezione dei due piani, alfa e beta ti resituisce una rappresentazione cartesiana della retta normale cercata.
Consideri il generico punto Q della retta retta, sia Q(1+2t,3t,2t).
Calcoli i parametri direttori della retta RQ, essi sono (2t,3t-1,2t+1).
Imponi che la retta per RQ e la retta r siano ortogonali, quindi (2t,3t-1,2t+1)(2,3,2)=0. Si trova t=1/17
Quindi la retta ortogonale a r e passante per R è la seguente retta n:
x=1+(2/17)t
y=1-(14/17)t
z=-1+(19/17)t
Tale retta n incontra la retta r nel punto Q(19/17,3/17,2/17)
SECONDO METODO
Fascio di piani per r e imponi il passaggio del fascio per R. Ottieni un piano alfa.
Stella di piano per R a(x-1)+b(y-1)+c(z+1)=0 e con (a,b,c) proprio coincidenti (o proporzionali) ai parametri direttori di r. trovi un secondo piano beta.
L'intersezione dei due piani, alfa e beta ti resituisce una rappresentazione cartesiana della retta normale cercata.
ok! grazie ad entrambi per le soluzioni
Prego!
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