Retta per un punto e contenente una retta data
Fissato un riferimento cartesiano monometrico dello spazio della geometria elementare, si considerino la retta $ s:{(x+z+2=0),(-x+2y+1=0):}$ e il punto $B(1,0,1)$.
(a) Calcolare un vettore direzionale di s.
$( det((0,1),(2,0)), - det((1,1),(-1,0)), det((1,0),(-1,2)) ) $
vettore direz $v (-2,-1,2)$
(b) Dire se la retta $s': {(x=1+t),(y=2t),(z=1+2t):}$ è incidente, parallela o sghemba con s.
Ho sostituito nella s, la x,y,z di s' e venutomi fuori un sistema incompatibile ho dedotto che siano sghembe.
(c) Ecco il mio problema.
Determinare il piano per B contenente s. Questo piano è parallelo a s'?
Allora ho preso il fascio di piani $h(x+z+2)+k(-x+2y+1)=0$ ed impongo il passaggio per B:
$h(1+1+2)+k(-1+1)=0$...il mio problema sono proprio h e k che mi vengono entrambi nulli...ho sbagliato qualcosa? In questo caso non dovrebbe esserci alcun piano...e allora perchè mi chiede se il piano trovato è parallelo a s'?
Grazie a tutti =)
(a) Calcolare un vettore direzionale di s.
$( det((0,1),(2,0)), - det((1,1),(-1,0)), det((1,0),(-1,2)) ) $
vettore direz $v (-2,-1,2)$
(b) Dire se la retta $s': {(x=1+t),(y=2t),(z=1+2t):}$ è incidente, parallela o sghemba con s.
Ho sostituito nella s, la x,y,z di s' e venutomi fuori un sistema incompatibile ho dedotto che siano sghembe.
(c) Ecco il mio problema.
Determinare il piano per B contenente s. Questo piano è parallelo a s'?
Allora ho preso il fascio di piani $h(x+z+2)+k(-x+2y+1)=0$ ed impongo il passaggio per B:
$h(1+1+2)+k(-1+1)=0$...il mio problema sono proprio h e k che mi vengono entrambi nulli...ho sbagliato qualcosa? In questo caso non dovrebbe esserci alcun piano...e allora perchè mi chiede se il piano trovato è parallelo a s'?
Grazie a tutti =)
Risposte
Il punto $B$ appartiene alla retta
"legendre":
Il punto $B$ appartiene alla retta
giusto...mmm...e quindi come posso fare? mi servirebbe un punto del piano?
questo e' un fascio proprio di piani cioe' c'e una retta detta generatrice detta asse che contiene tutti i piani del fascio.e' come se i piani fossero le pagine del libro e la generatrice la rilegatura.essendo il punto $B$ appartenente alla generatice e quindi a tutti i piani soddisfera' sempre una loro combinazione tra 2 piani.
ti consiglio comunque invece di avere $h e k$ di dividere$h/k$ e porre $h/k=\lambda$ tale da ottenere $x+z+2+\lambda*(-x+2y+1)=0$.cosi trovi l'assurdo $1+1+2+\lambda*0=0$.Cioe' :$4=0$.cioe' il punto $B$ appartiene al piano $\pi:-x+2y+1$.Il punto $B$ ho sbagliato non appartiene alla retta ma ad uno dei piani che costituiscono la retta.Ho fatto male la sostituzione punto piano$x+z+2=$pensavo fosse un $x+z-2=0$
"legendre":
questo e' un fascio proprio di piani cioe' c'e una retta detta generatrice detta asse che contiene tutti i piani del fascio.e' come se i piani fossero le pagine del libro e la generatrice la rilegatura.essendo il punto $B$ appartenente alla generatice e quindi a tutti i piani soddisfera' sempre una loro combinazione tra 2 piani.
allora vediamo se ho capito..in pratica il piano che sto cercando non è altro questo fascio di piani..quindi se sostituisco le coordinate di B queste soddisfano la combinazione...se questo che ho detto è giusto l'ho capito, ma quello che non ho capito è: se indico il piano come fascio...come faccio allora a verificare se è parallelo ad s'?
Il piano che ti chiede è il piano stesso che genera la retta:
infatti la retta è stata costruita con due piani (intersezione) non paralleli ora il punto $B$ appartiene ad uno dei due piani;
allora il piano contenente la retta ed il punto è proprio quel piano che lui ti da (mi pare il secondo)
infatti la retta è stata costruita con due piani (intersezione) non paralleli ora il punto $B$ appartiene ad uno dei due piani;
allora il piano contenente la retta ed il punto è proprio quel piano che lui ti da (mi pare il secondo)
te lo ha confermato anche dajeforte.
@userina scusa se ho sbagliato te l'ho ricorretto
@userina scusa se ho sbagliato te l'ho ricorretto
ah ecco =) grazie ad entrambi...mi stavo incasinando da sola 
Sarà l'orario...ma non ricordo una cosa...anche per quanto riguarda un piano parallelo ad una retta vale la regola che sono paralleli se i loro vettori direzionali sono proporzionali? e quindi in questo caso il piano $\pi$ e $s'$ non lo sono?!?!?
Sarà l'orario...ma non ricordo una cosa...anche per quanto riguarda un piano parallelo ad una retta vale la regola che sono paralleli se i loro vettori direzionali sono proporzionali? e quindi in questo caso il piano $\pi$ e $s'$ non lo sono?!?!?
considerando la retta $r:{(a'x+b'y+c'z+d'=0),(a''x+b''y+c''z+d''=0):}$ e il piano $\pi$$:$$ax+by+cz+d=0$
Ci sono tre casi:
a)retta e piano sono incidenti la matrice associata ha : $det((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))!=0$
b)retta e piano sono paralleli la matrice associata ha : $det((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=0$ e la matrice $((a,b,c),(a',b',c'))$ ha rango 2,mentre
$rg((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=3$
c)la retta e' contenuta nel piano si ha:$det((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=0$ e $rg((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=2$ e $rg((a,b,c),(a',b',c'))=2$.il sistema ha $\infty^1$ soluzioni
in generale considerando il caso c) come un particolare parallelismo si puo' sempre dire che condizione necessaria e sufficiente affinche' una retta e un piano siano paralleli e' che :$det((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=0$
ancora:data la retta $r$ di parametri direttori $\vec r=(l,m,n)$ e il vettore $\vec n=(a,b,c)$ che e' un vettore ortogonale al piano deve essere,poiche'
i 2 vettori sono quindi ortogonali tra loro,$\vec n*\vec r=0$ cioe' $a*l+b*m+c*n=0$
Ci sono tre casi:
a)retta e piano sono incidenti la matrice associata ha : $det((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))!=0$
b)retta e piano sono paralleli la matrice associata ha : $det((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=0$ e la matrice $((a,b,c),(a',b',c'))$ ha rango 2,mentre
$rg((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=3$
c)la retta e' contenuta nel piano si ha:$det((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=0$ e $rg((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=2$ e $rg((a,b,c),(a',b',c'))=2$.il sistema ha $\infty^1$ soluzioni
in generale considerando il caso c) come un particolare parallelismo si puo' sempre dire che condizione necessaria e sufficiente affinche' una retta e un piano siano paralleli e' che :$det((a,b,c),(a',b',c'),(a'',b'',c''))=0$
ancora:data la retta $r$ di parametri direttori $\vec r=(l,m,n)$ e il vettore $\vec n=(a,b,c)$ che e' un vettore ortogonale al piano deve essere,poiche'
i 2 vettori sono quindi ortogonali tra loro,$\vec n*\vec r=0$ cioe' $a*l+b*m+c*n=0$
si però la retta in questione ($s'$) è in forma parametrica, devo prima renderla in forma cartesiana del tipo $ax + by + cz + d= 0$?
dalla equazione parametrica della retta ottieni gia' i suoi parametri direttori $(l,m,n)
"legendre":
dalla equazione parametrica della retta ottieni gia' i suoi parametri direttori $(l,m,n)
punto risolto, grazie! =)
però,purtroppo, l'esercizio continua..e mi sono bloccata al punto (d)
come la ricavo la retta B? devo prendere una generica retta in forma cartesiana o parametrica e metterla a sistema? oppure imporre il passaggio per B? scusami se ti assillo, però è un esercizio datoci dalla prof per esercitarci per l'esame...da nessuna parte ho trovato un esercizio simile su cui basarmi...sono in alto mare!
Grazie mille davvero =)
Tu devi trovare una (ti sottolineo l'articolo indeterminativo) retta che passa per $B$ ed è incidente $s$;
di quanti punti hai bisogno per descrivere una retta?
Un punto lo hai l'altro come lo puoi ottenere?
di quanti punti hai bisogno per descrivere una retta?
Un punto lo hai l'altro come lo puoi ottenere?
"DajeForte":parli del vettore direzionale della retta B?
Tu devi trovare una (ti sottolineo l'articolo indeterminativo) retta che passa per $B$ ed è incidente $s$;
di quanti punti hai bisogno per descrivere una retta?
Un punto lo hai l'altro come lo puoi ottenere?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo