Retta per P incidente r1 e ortogonale r2

[ennedes]

Salve gente, sono bloccata su questo esercizio:

$r1: { ( x=2-t ),( y=t ),( z=1+t ):} , r2: { (y=1), (x-y+z+1=0):}$

Retta s passante per $P=(1,2,0)$, incidente r1 e ortogonale r2.

Come procedo? Pensavo di trovare il piano contenente r2 e poi ricavare s parallela al vettore direttore...

[billyballo2123]

L'equazione parametrica di $r_2$ è
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix},
\]
dunque il piano ortogonale a $r_2$ è il piano costituito dai vettori ortogonali a
\[
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
\]
(che è la direzione di $r_2$), e di conseguenza l'equazione del piano è $x-z=0$.
Quindi l'equazione di $s$ sarà
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{bmatrix}
+t_1
\begin{bmatrix}
a \\
b \\
c
\end{bmatrix},
\]
con $[a \ \ b \ \ c]^T$ appartenente al piano $x-z=0$, e quindi l'equazione di $s$ diventa
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{bmatrix}
+t_1
\begin{bmatrix}
a \\
b \\
a
\end{bmatrix}
\].
Ora non ti resta che trovare $a$ e $b$ di modo che $s$ sia incidente con $r_1$ che ha equazione
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
+t_2
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}.
\]

[ennedes]

Ho messo a sistema le due rette, ma trovo due valori non coincidenti...

[billyballo2123]

In che senso due valori non coincidenti? Se poni $a=1$ e $b=-2$ le due rette sono incidenti nel punto $[2 \ \ 0 \ \ 1]^T$. Infatti questo punto si trova sia su $s$ (basta porre $t_1=1$) che su $r_1$ (basta porre $t_2=0$).

[ennedes]

Oh, d'accordo ho capito! Grazie mille

[billyballo2123]

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