Retta passante per un punto e perpendicolare ad un piano
Salve a tutti, vorrei sapere se c'è un modo per dimostrare l'equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad un piano che si trova qui:
http://www.****.it/domande-a-rispost ... piano.html
http://www.****.it/domande-a-rispost ... piano.html
Risposte
Prendi uno spazio euclideo $(V,*)$ di dimensione $ngeq3$
Fissi la base che più preferisci(per svolgere i conti alla fine meglio se ortonormale)
Consideri un piano $pi:P+$ e un punto $Rnotinpi$
Consideri un generico punto $X inpi$ che sarà
$vec(OX)=vec(OP)+aw_1+bw_2$
Consideri il vettore $vec(RX)$ che collega il punto $R$ al punto $X$
$vec(RX)=vec(RO)+vec(OX)=vec(RO)+vec(OP)+aw_1+bw_2$
Ottieni $vec(RX)=vec(RP)+aw_1+bw_2$
Imponi la condizione che il vettore $vec(RX)$ che vorremmo sia il vettore direttore della retta, sia normale al piano
${(vec(RX)*w_1=0),(vec(RX)*w_2=0):}$
${(vec(RP)*w_1+a(w_1*w_1)+b(w_1*w_2)=0),(vec(RP)*w_2+a(w_1*w_2)+b(w_2*w_2)=0):}$
Nota che ci interessa che esistano $a,b inK$ tali che si verifichino quelle uguaglianze.
${(a||w_1||^2+b(w_1*w_2)=vec(PR)*w_1),(a(w_1*w_2)+b||w_2||^2=vec(PR)*w_2):}$
La matrice $[((||w_1||^2,w_1*w_2)),((w_1*w_2,||w_2||^2))]$ non è altro che la matrice del sistema che ha determinante $||w_1||^2*||w_2||^2-(w_1*w_2)^2>0$ per conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e per il fatto che non sono paralleli.
Quindi per cramer esiste un’unica coppia $(a,b)$ che mi determina la soluzione del sistema.
Questo mi garantisce l’esistenza e l’unicità del punto $X$ sostituendo $a,b$ e quindi del vettore $vec(RX)$
Pertanto $r:R+$ è la retta cercata
Se la vuoi determinare, basta svolgere i calcoli.
Avevo tempo in più, giusto per conciliare il sonno.
Spero di aver centrato più o meno la richiesta!
Fissi la base che più preferisci(per svolgere i conti alla fine meglio se ortonormale)
Consideri un piano $pi:P+
Consideri un generico punto $X inpi$ che sarà
$vec(OX)=vec(OP)+aw_1+bw_2$
Consideri il vettore $vec(RX)$ che collega il punto $R$ al punto $X$
$vec(RX)=vec(RO)+vec(OX)=vec(RO)+vec(OP)+aw_1+bw_2$
Ottieni $vec(RX)=vec(RP)+aw_1+bw_2$
Imponi la condizione che il vettore $vec(RX)$ che vorremmo sia il vettore direttore della retta, sia normale al piano
${(vec(RX)*w_1=0),(vec(RX)*w_2=0):}$
${(vec(RP)*w_1+a(w_1*w_1)+b(w_1*w_2)=0),(vec(RP)*w_2+a(w_1*w_2)+b(w_2*w_2)=0):}$
Nota che ci interessa che esistano $a,b inK$ tali che si verifichino quelle uguaglianze.
${(a||w_1||^2+b(w_1*w_2)=vec(PR)*w_1),(a(w_1*w_2)+b||w_2||^2=vec(PR)*w_2):}$
La matrice $[((||w_1||^2,w_1*w_2)),((w_1*w_2,||w_2||^2))]$ non è altro che la matrice del sistema che ha determinante $||w_1||^2*||w_2||^2-(w_1*w_2)^2>0$ per conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e per il fatto che non sono paralleli.
Quindi per cramer esiste un’unica coppia $(a,b)$ che mi determina la soluzione del sistema.
Questo mi garantisce l’esistenza e l’unicità del punto $X$ sostituendo $a,b$ e quindi del vettore $vec(RX)$
Pertanto $r:R+
Se la vuoi determinare, basta svolgere i calcoli.
Avevo tempo in più, giusto per conciliare il sonno.
Spero di aver centrato più o meno la richiesta!
Grazie infinite! 
In quanto all’unicità, se ti servisse un teorema che te la garantisce
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