Retta passante per un punto e parallela a un altra

[SamLan]

Calcolare le equazioni paramentriche di una retta passante per un punto $P(2,1,-3)$ e parallela a una retta $s{(x=-2t), (y=1-t), (z=3+t):}$

Inizio con la condizione di passaggio per il punto P:

${(x=2+tl ), (y=1+mt), (z=-3+nt):} $

per trovare l,m,n sfrutto la condizione di parallelismo:

$l/l'=m/m'=n/n'$ da qui però come trovo il loro valore?

[A.l.e.c.s]

io sceglierei una strada diversa che forse è più semplice..considerando la retta \(\displaystyle s: \) \(\displaystyle \begin{array}{l}x=-2t\\y=1-t\\z=3+t\end{array} \) esprimi \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \) in funzione di \(\displaystyle z \) esplicitando \(\displaystyle t \) dalla terza equazione e trovi il seguente sistema \(\displaystyle s: \) \(\displaystyle \begin{array}{l}x=-2z + 6\\y= -z + 4\end{array} \) da qui risulta che il vettore direzione di questa retta è \(\displaystyle v = ( -2 , -1 , 1) \). Per trovare una retta in forma parametrica hai bisogno di una direzione ed un punto per cui deve passare, visto che la tua retta \(\displaystyle r \) deve essere parallela alla retta \(\displaystyle s \) e passare per il punto \(\displaystyle P ( 2 , 1 , -3 ) \) non rimane altro che scrivere l'equazione della retta \(\displaystyle r \) (tenendo presente che una qualunque combinazione lineare di un vettore ha come risultato un vettore parallelo a quest'ultimo) , a questo punto la tua retta parallela alla retta \(\displaystyle s \) risulta : \(\displaystyle r: (-2 , -1, 1)t + (2 , 1 , -3) \) che diventa \(\displaystyle \begin{array}{l}x=-2t + 2\\y=-t + 1\\z=t - 3\end{array} \)

[SamLan]

si infatti è più semplice..grazie mille