Retta passante per due punti....piccolo problema
Sia $r vec $ la retta passante per i punti $A(-1,-1/2)$ e per $B(1,7/2)$, e sia $s vec $ una retta parallela ad $r vec $, avente equazione $y=mx+n$ con $n<0$. Determinare $n$ in modo che, detti $C$ e $D$ i punti d'intersezione della retta $s vec $, rispettivamente con l'asse delle $x$ e delle $y$, l'area del triangolo $COD$ sia pari a $12$. ($O$ ovviamente è l'origine)
io come prima cosa mi sono andata a trovare l'equazione della retta che passa per due punti, quindi ho sviluppato la formula $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$ cosi ho ottenuto l'equazione di $r$ che è $y=3x+3$ fin qui sono andata bene?
io come prima cosa mi sono andata a trovare l'equazione della retta che passa per due punti, quindi ho sviluppato la formula $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$ cosi ho ottenuto l'equazione di $r$ che è $y=3x+3$ fin qui sono andata bene?
Risposte
La condizione di parallelismo ti da il coefficiente angolare di $s$, che deve essere pari a quello di $r$. Ora considerando che l'intercetta di $s$ è negativa non è difficile farsi un'idea di dove passi questa retta e quale sia il triangolo in questione. Ora basta scrivere l'area del suddetto in funzione di un cateto che altro non è se non l'intercetta di $s$ e porre la condizione numerica.
ma infatti io il disegno già l'ho fatto....solo che adesso che ho trovato l'equazione di $r$ non so più come andare avanti per trovarmi $s$ e quindi calcolarmi la distanza tra due punti, in modo da trovarmi un cateto del triangolo
La retta $s$ è data da $y=3x-q$, con $q$ positivo. Il triangolo è formato da $(0,0), (0,-q), (\frac{q}{3},0)$. L'area del triangolo è data da $A=\frac{q^2}{6}$. Essendo $A=12$ puoi trovare $q$.
se leggi bene il testo $q$ non è positivo.....anzi ha il vincolo di essere negativo...poi mi puoi dire come hai ottenuto quei punti per favore?
Infatti $q$ positivo implica $-q$ negativo come vuole il testo e come vedi nell'equazione della retta ho usato proprio $-q$.
I punti sono ottenuti trovando le intersezioni con gli assi della retta: ovvero porre prima $x=0$ e trovi il punto $(0,q)$, poi pongo $y=0$ ottenendo il punto $(\frac{q}{3},0)$.
I punti sono ottenuti trovando le intersezioni con gli assi della retta: ovvero porre prima $x=0$ e trovi il punto $(0,q)$, poi pongo $y=0$ ottenendo il punto $(\frac{q}{3},0)$.
scusami forse non mi sono spiegata bene....per i punti volevo capire tu ha messo $\{(y=3x-q),(x=0):}$
e poi per $y=0$?
e poi per $y=0$?
"Marcos87":
L'area del triangolo è data da $A=\frac{q^2}{6}$.
scusa ma nel mio caso non dovrebbe venirmi cosi: $A=((q/3)*(-q))/2$ e cioè $(-q^2/6)$ perchè a te viene $+q$?
P.S.: scusa ho rifatto i calcoli e avevo sbagliato l'equazione della retta $r$ non è $y=3x+3$ ma quella esatta è $y=4x+4$
Il procedimento per i punti è corretto. Basta che modifichi poi il coefficiente con quello corretto (non ho fatto i calcoli). L'area in realtà è data dal prodotto della lunghezza di base per quella dell'altezza diviso $2$, per cui è positiva per definizione.
ok allora mi sa che ho capito.....l'unico problema e che ho ottenuto $12=(n/4*(-n))/2$ e poi non so come continuare per ottenere come risultato esatto $n=-4sqrt(3)$ potresti aiutarmi a capire?
"silvia_85":
ok allora mi sa che ho capito.....l'unico problema e che ho ottenuto $12=(n/4*(-n))/2$ e poi non so come continuare per ottenere come risultato esatto $n=-4sqrt(3)$ potresti aiutarmi a capire?
Risolvi l'equazione di secondo grado...
$12=(-n^2/6)$ e poi?????qui mi blocco
Ok, non avevo visto il tuo errore. Nel calcolo delle aree ogni lunghezza è positiva. Quindi non dovevi mettere \(-n\) ma \(n\).
ma allora come mai come risultato mi da $n=-4sqrt(3)$?
"silvia_85":
ma allora come mai come risultato mi da $n=-4sqrt(3)$?
A meno di errori precedenti quel risultato non è corretto:
\(n^2 = 6\cdot 12 = 2\cdot 6^2 \Rightarrow n = \pm 6\sqrt{2}\)
Dato che si deve prendere la soluzione negativa viene \(-6\sqrt{2}\).
mi dispiace dover insistere ma questo risultato mi è stato dato dal prof...e mi ha confermato che è assolutamente esatto, senza però spiegarmi come è possibile, per questo sto avendo problemi
ho rifatto meglio i calcoli....forse non hai visto la correzione di prima...l'equazione della retta $s$ è $y=4x-n$ quindi calcolandomi la mia area ottengo $12=(n^2/4)*1/2$ da qui $12=n^2/4$ e continuo ottenendo $n^2=2^4*3$ e da qui il risultato esatto $n=-4sqrt(3)$ giusto??? sei d'accordo con me?
Ok, l'errore era nella prima retta...
\(\displaystyle \frac{x + 1}{1+1} = \frac{y + \frac12}{\frac72 + \frac12} \Rightarrow y = 2x+\frac{3}{2}\)
Infatti \(\displaystyle -\frac{1}{2} = -2 + \frac{3}{2}\) e \(\displaystyle \frac72 = 2 + \frac32 \). Dovresti sempre controllare prima di andare avanti!
A questo punto tu risolti il sistema
\begin{cases} y &= 2x - q \\
y &= 0
\end{cases}
trovando il punto \(\displaystyle P = \biggl(\frac{q}{2},\;0\biggr)\)
Dopo di che risolvi il sistema
\begin{cases} y &= 2x - q \\
x &= 0
\end{cases}
ricavando il punto \(\displaystyle Q = \biggl(0,\;-q\biggr)\)
A questo punto hai il triangolo \(\bigtriangleup POQ\), che ha area \(12\) secondo le ipotesi.
A questo punto usi come base \(\overline{OP}\) di lunghezza \(\displaystyle \sqrt{(\frac{q}{2} - 0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{\frac{q^2}{4}} = \frac{q}{2}\) e altezza \(\overline{OQ}\) di lunghezza \(\displaystyle \sqrt{(0 - 0)^2 + (-q-0)^2} = \sqrt{q^2} = q\).
Trovi pertanto l'equazione di secondo grado \(\displaystyle \frac12 \frac{q}{2}q = A = 12\)
A questo punto hai l'equazione \(q^2 = 4^2\cdot 3 \Rightarrow q = \pm 4\sqrt{3}\).
\(\displaystyle \frac{x + 1}{1+1} = \frac{y + \frac12}{\frac72 + \frac12} \Rightarrow y = 2x+\frac{3}{2}\)
Infatti \(\displaystyle -\frac{1}{2} = -2 + \frac{3}{2}\) e \(\displaystyle \frac72 = 2 + \frac32 \). Dovresti sempre controllare prima di andare avanti!
A questo punto tu risolti il sistema
\begin{cases} y &= 2x - q \\
y &= 0
\end{cases}
trovando il punto \(\displaystyle P = \biggl(\frac{q}{2},\;0\biggr)\)
Dopo di che risolvi il sistema
\begin{cases} y &= 2x - q \\
x &= 0
\end{cases}
ricavando il punto \(\displaystyle Q = \biggl(0,\;-q\biggr)\)
A questo punto hai il triangolo \(\bigtriangleup POQ\), che ha area \(12\) secondo le ipotesi.
A questo punto usi come base \(\overline{OP}\) di lunghezza \(\displaystyle \sqrt{(\frac{q}{2} - 0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{\frac{q^2}{4}} = \frac{q}{2}\) e altezza \(\overline{OQ}\) di lunghezza \(\displaystyle \sqrt{(0 - 0)^2 + (-q-0)^2} = \sqrt{q^2} = q\).
Trovi pertanto l'equazione di secondo grado \(\displaystyle \frac12 \frac{q}{2}q = A = 12\)
A questo punto hai l'equazione \(q^2 = 4^2\cdot 3 \Rightarrow q = \pm 4\sqrt{3}\).
"silvia_85":
ho rifatto meglio i calcoli....forse non hai visto la correzione di prima...l'equazione della retta $s$ è $y=4x-n$ quindi calcolandomi la mia area ottengo $12=(n^2/4)*1/2$ da qui $12=n^2/4$ e continuo ottenendo $n^2=2^4*3$ e da qui il risultato esatto $n=-4sqrt(3)$ giusto??? sei d'accordo con me?
Non è 4 ma 2. Infatti la tua diventa \(\displaystyle 12 = \frac{n^2}{8}\).
si hai ragione il denominatore è $8$ però poi a questo punto non tornato i conti perchè ottengo $n=96=2^5*3$ però poi a questo punto ho un $2$ in più
Vedi sopra, ho risolto tutto il problema. Avevi sbagliato la prima retta.
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