Retta passante per due punti

[Fab10Messi]

Ciao a tutti,
sto studiando il polinomio di Lagrange e ho un dubbio di base che riguarda la costruzione di una retta passante per due punti.

In particolare la costruzione del polinomio di Lagrange inizia partendo dal fatto che (per due nodi):
$p_1(x)=(x-x_1)/(x_0-x_1)*y_0+(x-x_0)/(x_1-x_0)*y_1$

Il mio dubbio non riguarda lo sviluppo del polinomio di Lagrange ma riguarda l'equazione appena scritta. Come si ci arriva?

[dissonance]

Questa è una cosa delle superiori, la micidiale "retta passante per due punti". Mi ricordo che c'era una dimostrazione sintetica che usava le proporzioni e il teorema di Talete. In modo puramente analitico ci puoi arrivare in vari modi.

Per ricordartela in fretta fai così. Sai che deve essere [tex]p(x)=\text{una cosa di primo grado}[/tex] e che hai condizioni sui nodi $x_0, x_1$. Allora scrivi

$p(x)=a(x-x_0)+b(x-x_1)$ per $a, b$ costanti da determinarsi.

Quando $x=x_0$, questa espressione vale $b(x_0-x_1)$, e vuoi che valga $y_0$. Quindi imponi $b=\frac{y_0}{x_0-x_1}:

$a(x-x_0)+\frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0$

Ripeti per $x=x_1$ e determini $a$. Hai così ricostruito la formula voluta.

[Fab10Messi]

Scusa, mi rendo conto che non è una cosa difficile ma continuo a non capire. Come hai fatto questo passaggio?

"Scrivi $y=ax+b$ e imponi il passaggio per i punti $(x_0, y_0), (x_1, y_1)$.
Allora scrivi
$a(x-x_0)+b(x-x_1)$ "

[dissonance]

E' perché non sono stato chiaro io. Rileggi adesso, dovrebbe andare meglio. Ti confermo comunque che è una cosa molto facile, appena capirai farai questa faccia:

come del resto capitò a me.

[Fab10Messi]

Ho fatto quella faccia prima ancora di leggere il tuo ultimo messaggio.
In pratica una volta sviluppato il sistema ax=b con le condizioni ho avuto bisogno di rielaborare il risultato per raggiungere quella forma che mi interessava. Grazie mille comunque di tutto, sei stato di enorme aiuto!