Retta ortogonale e incidente a due rette sghembe
Salve a tutti 
Ho il seguente esercizio in "cantiere" e ho già guardato nel forum alla ricerca di soluzioni in merito senza però trovare uniformità di risoluzione.
Chiedo quindi a qualche buon'anima un aiuto in merito.
L'esercizio è il seguente:
Date le rette r :
x = t
y = 1 + t
z = -1 + t
ed s :
x = 1 - t
y = 2t
z = 1
veri care che sono sghembe e determinare:
d(r; s);
l'equazione della retta p ortogonale e incidente le due rette r, s;
le coordinate dei punti di incidenza della retta p con le rette r e s.
Il punto che mi cruccia è il secondo, perchè non so che metodo applicare tra tutti quelli che ho trovato.
Grazie a chiunque voglia rispondermi
Ho il seguente esercizio in "cantiere" e ho già guardato nel forum alla ricerca di soluzioni in merito senza però trovare uniformità di risoluzione.
Chiedo quindi a qualche buon'anima un aiuto in merito.
L'esercizio è il seguente:
Date le rette r :
x = t
y = 1 + t
z = -1 + t
ed s :
x = 1 - t
y = 2t
z = 1
veri care che sono sghembe e determinare:
d(r; s);
l'equazione della retta p ortogonale e incidente le due rette r, s;
le coordinate dei punti di incidenza della retta p con le rette r e s.
Il punto che mi cruccia è il secondo, perchè non so che metodo applicare tra tutti quelli che ho trovato.
Grazie a chiunque voglia rispondermi
Risposte
Ciao, per calcolare la distanza tra due rette sghembe io conosco fondamentalmente due metodi:
1- Trovare la retta $t$ ortogonale incidente le due rette sghembe $r$ ed $s$ se $R=tnnr$ e $S=tnns$ allora $d(r,s)=\bar{RS}$
2- Prendiamo il piano $\pi$ contenente $r$ e parallelo ad $s$ ad esempio e poi ci calcoliamo la distanza tra $s$ e $\pi$
Considerato ciò che ti chiede, io adopererei il primo metodo.
Do per scontato che siano sghembe visto che mi dici che hai problemi dal punto 2 in poi.
I parametri direttori di $r$ sono $(1,1,1)$ quelli di $s$ sono $(-1,2,0)$.
Dobbiamo trovare i parametri direttori generici $(l,m,n)$ tali che:
$\{(l+m+n = 0),(-l+2m = 0):}$
Da questo sistema otteniamo come soluzione che i parametri direttori della retta $t$ saranno $(2,1,-3)$.
La retta $t$ passa per il punto improprio $P_\infty=(2,1,-3,0)$.
Chiamiamo $\pi_1$ il piano contenente $r$ e passante per il punto improprio $P_\infty$ e $\pi_2$ il piano contenente $s$ e passante per $P_\infty$.
La retta $t$ sarà intersezione di questi due piani.
Sai come trovarli? (Se non lo sai dimmelo e te lo continuo a scrivere più tardi)
Una volta trovato $t$ abbiamo già fatto il punto 3 del tuo esercizio.
Poi facendo il sistema tra $t$ ed $r$ e $t$ ed $s$ otteniamo le coordinate dei due punti di incidenza e la distanza infine sarà proprio la distanza tra questi due punti.
Spero di esserti stato utile.
1- Trovare la retta $t$ ortogonale incidente le due rette sghembe $r$ ed $s$ se $R=tnnr$ e $S=tnns$ allora $d(r,s)=\bar{RS}$
2- Prendiamo il piano $\pi$ contenente $r$ e parallelo ad $s$ ad esempio e poi ci calcoliamo la distanza tra $s$ e $\pi$
Considerato ciò che ti chiede, io adopererei il primo metodo.
Do per scontato che siano sghembe visto che mi dici che hai problemi dal punto 2 in poi.
I parametri direttori di $r$ sono $(1,1,1)$ quelli di $s$ sono $(-1,2,0)$.
Dobbiamo trovare i parametri direttori generici $(l,m,n)$ tali che:
$\{(l+m+n = 0),(-l+2m = 0):}$
Da questo sistema otteniamo come soluzione che i parametri direttori della retta $t$ saranno $(2,1,-3)$.
La retta $t$ passa per il punto improprio $P_\infty=(2,1,-3,0)$.
Chiamiamo $\pi_1$ il piano contenente $r$ e passante per il punto improprio $P_\infty$ e $\pi_2$ il piano contenente $s$ e passante per $P_\infty$.
La retta $t$ sarà intersezione di questi due piani.
Sai come trovarli? (Se non lo sai dimmelo e te lo continuo a scrivere più tardi)
Una volta trovato $t$ abbiamo già fatto il punto 3 del tuo esercizio.
Poi facendo il sistema tra $t$ ed $r$ e $t$ ed $s$ otteniamo le coordinate dei due punti di incidenza e la distanza infine sarà proprio la distanza tra questi due punti.
Spero di esserti stato utile.
Non mi pare parecchio complesso come metodo
Comunque se mi spieghi anche la parte relativa a come si trovano i piani ti sarei grato
Grazie dell'interessamento
Comunque se mi spieghi anche la parte relativa a come si trovano i piani ti sarei grato
Grazie dell'interessamento
Scriviamo dapprima le rette come intersezione di piani:
$r=\{(x-y+1=0),(x-z-1=0):}$
$s=\{(2x+y-2=0),(z-1=0):}$
Ora possiamo cercare i piani $\pi_1$ e $\pi_2$ definiti prima.
$\lambda(x-y+t)+\mu(x-z-t)=0$
[Usiamo le coordinate omogenee perchè dobbiamo imporre il passaggio per il punto improprio]
Imponendo il passaggio per $P_\infty$ otteniamo
$\lambda+5\mu=0$
Prendendo ad esempio $\mu=1$ e $\lambda=-5$ otterremo il piano $\pi_1$:
$-5(x-y+1)+1(x-z-1)=0$
[le coordinate omogenee non ci necessitano più]
In definitiva:
$\pi_1 : -4x+5y-z-6=0$
Analogamente $\pi_2$.
Prego, non c'è di che.
$r=\{(x-y+1=0),(x-z-1=0):}$
$s=\{(2x+y-2=0),(z-1=0):}$
Ora possiamo cercare i piani $\pi_1$ e $\pi_2$ definiti prima.
$\lambda(x-y+t)+\mu(x-z-t)=0$
[Usiamo le coordinate omogenee perchè dobbiamo imporre il passaggio per il punto improprio]
Imponendo il passaggio per $P_\infty$ otteniamo
$\lambda+5\mu=0$
Prendendo ad esempio $\mu=1$ e $\lambda=-5$ otterremo il piano $\pi_1$:
$-5(x-y+1)+1(x-z-1)=0$
[le coordinate omogenee non ci necessitano più]
In definitiva:
$\pi_1 : -4x+5y-z-6=0$
Analogamente $\pi_2$.
Prego, non c'è di che.
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