Retta e piano ortogonali
Salve ragazzi, ho un quesito da chiedervi. Ho questo esercizio che mi chiede:
Nello spazio Euclideo $ E^3 $ si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino la retta r ed il piano $ pi $ di equazioni:
$ r: { ( 2x+z-1=0 ),( ay+4z=0 ):} $ , $ pi : ax-y-z+(1-a)=0 $
Per quali valori di a la retta r ed il piano $ pi $ risultano ortogonali?
Allora ho provato diverse strade ma non riesco a trarre una conclusione. Innanzitutto per la teoria so che se due rette sono ortogonali il loro prodotto vettoriale è uguale a zero. L'unico problema è che io ho il piano e non la retta, quindi dovrei prendermi una retta appartenente a questo piano e farmi il prodotto vettoriale? L'altra ipotesi era quella di prendere i coefficienti del piano, quindi (a,-1,-1) e rappresentano la normale al piano e quindi il versore della retta: (-1/2, -4/a, 1) dovrebbe essere uguale (o un multiplo) della normale in modo che abbiano lo stesso verso.. ma non saprei come impostare questa condizione. Mi sapete dare una mano?
Nello spazio Euclideo $ E^3 $ si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino la retta r ed il piano $ pi $ di equazioni:
$ r: { ( 2x+z-1=0 ),( ay+4z=0 ):} $ , $ pi : ax-y-z+(1-a)=0 $
Per quali valori di a la retta r ed il piano $ pi $ risultano ortogonali?
Allora ho provato diverse strade ma non riesco a trarre una conclusione. Innanzitutto per la teoria so che se due rette sono ortogonali il loro prodotto vettoriale è uguale a zero. L'unico problema è che io ho il piano e non la retta, quindi dovrei prendermi una retta appartenente a questo piano e farmi il prodotto vettoriale? L'altra ipotesi era quella di prendere i coefficienti del piano, quindi (a,-1,-1) e rappresentano la normale al piano e quindi il versore della retta: (-1/2, -4/a, 1) dovrebbe essere uguale (o un multiplo) della normale in modo che abbiano lo stesso verso.. ma non saprei come impostare questa condizione. Mi sapete dare una mano?
Risposte
Una retta e un piano sono ortogonali quando il vettore ortogonale al piano è parallelo al vettore direzione della retta. In parole povere, se hai il piano $ax+by+cz+d=0$ e la retta di direzione $(\alpha,\beta,\gamma)$ deve esistere $k\in RR$ tale che
$$(a,b,c)=k(\alpha,\beta,\gamma)$$
$$(a,b,c)=k(\alpha,\beta,\gamma)$$
okkei e fine qui ci stavo.. ma a livello di calcoli come devo impostarlo?
Mmmmh comunque forse ci sono arrivato.. bisogna impostare la matrice
$ ( ( a , b , c ),( l, m , n ) ) $
e fare in modo che il rango sia 1
ma in questo caso il rango è sempre 2 quindi è impossibile giusto??
$ ( ( a , b , c ),( l, m , n ) ) $
e fare in modo che il rango sia 1
ma in questo caso il rango è sempre 2 quindi è impossibile giusto??
"Realscorpion":
Mmmmh comunque forse ci sono arrivato.. bisogna impostare la matrice
$ ( ( a , b , c ),( l, m , n ) ) $
e fare in modo che il rango sia 1
ma in questo caso il rango è sempre 2 quindi è impossibile giusto??
Si esatto, perché in quel caso le due righe sono linearmente dipendenti e dunque una è multiplo dell' altra. Una soluzione più intuitiva potrebbe essere quella di risolvere il sistema lineare:
$\{(a=kl),(b=km),(c=kn):}$
Grazie mille ragazzi.. siete sempre gentilissimi 
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