Retta dello spazio ortogonale a due rette ed incidente ad altre due

[xpierox93]

Salve a tutti
Ho riscontrato un problema con un esercizio di geometria dello spazio. Scrivo il testo:

"Fissato nello spazio tridimensionale usuale $E^3$ un riferimento cartesiano ortonormale $RC(O,x,y,z)$ determinare la retta r ortogonale alle rette

$S_{1} : $ ${(3x,-z,=,0),(3y,-2z,=,0):}$

$S_{2} : $ ${(x,=,2z),(y,=,3z):}$

ed incidente le rette

$k_{1} : $ ${(x,=,2z+1),(y,=,-z-1):}$

$k_{2} : $ ${(x,=,2z+5),(y,=,-2z-3):}$"

$S_{1}$ e $S_{2}$ sono due rette complanari, per cui trovo il piano per queste due rette:

$\pi$ : $7x - 5y + z$

la retta ortogonale a $\pi$, passante per il punto $P(0,0,0)$, di equazione
$x/7 = y/-5 = z$
risulta ortogonale alle rette $S_{1}$ e $S_{2}$, ma incidente solo con la retta $k_{2}$...Dove sto sbagliando?
grazie

[Sk_Anonymous]

L'errore sta nel far passare la retta richiesta ( che chiamo $t$) per il punto comune ad $S_1$ ed $S_2$ ( punto che, nel nostro caso, è poi l'origine $O(0,0,0)$ del riferimento). In effetti il quesito richiede solo che la retta in questione sia ortogonale alle rette $S_1$ e $S_2$ ma non nel punto comune a queste due ultime rette. Io invece farei come segue .
Si trova dapprima il piano $alpha_1$ passante per $k_1$ ed ortogonale a $pi$; poi il piano $alpha_2$ passante per
$k_2$ ed ortogonale a $pi$. La retta intersezione tra $alpha_1$ e $alpha_2$ è la retta $t$ richiesta.
A calcola fatti dovresti trovare che t ha equazioni :
\(\displaystyle \begin{cases}4x+5y-3z+1=0\\3x+5y+4z=0\end{cases} \)
Si verifica che effettivamente $t$ è ortogonale ad $S_1$ e ad $S_2$. Inoltre essa interseca la $k_1$ nel punto
$(9/5,-7/5,2/5)$ e la $k_2$ nel punto $({37}/5,-{27}/5,6/5)$

[xpierox93]

Grazie mille!!