Retta che giace su un piano....

[miticome]

E' una domanda abbastanza stupida ma meglio chiarirmi questo dubbio

Data la retta $ { ( x-2y-7=0 ),( 3x-y-h=0 ):} $ e il piano alfa: $ x+2y-12z=0 $ trovare il valore di $ h $ per il quale $ r $ giace sul piano alfa

Penso si possa fare in due modi:

1) Ora un retta per giacere su un piano deve avere il vettore direttore ortogonale al vettore del piano. In questo caso come trovo il vettore direttore della retta.

2) Scrivere tutto sotto forma di matrice così: $ r| ( 1 , -2 , -7 ),( -h , -1 , 3 ),( 1 , 2 , -12 ) | $ e trovare quindi il valore

Potreste dirmi se il secondo metodo e giusto e come fare a trovare il vettore direttore nel primo caso?

Grazie

[piero_1]

ciao
puoi studiare le soluzioni di questo sistema:

[tex]\[
\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 7 \\
3x - y = h \\
x + 2y - 12z = 0 \\
\end{array} \right.
\][/tex]

Per il teorema di Rouchè-Capelli le soluzioni sono infinite (cioè la retta appartiene al piano) se il rango della matrice delle incognite e quello della completa sono uguali e minori di 3.
Se non ho sbagliato i calcoli, mi risulta che il piano e la retta sono incidenti per ogni h, avendo sempre rango=3.
Il punto è

[tex]\[
P_0 \equiv ({\rm }\frac{{2h - 7}}{5};\frac{{h - 21}}{5};\frac{{4h - 49}}{{60}})
\][/tex]

Ricontrolla, mi raccomando.

[miticome]

Scusa ho sbagliato a scrivere la retta... $ { ( x-2y-7=0 ),( -h+3z-y=0 ):} $ cioè non è $ 3x $ ma $ 3z $ posso risolvere sempre in questo modo giusto?

[piero_1]

"Miticome":Scusa ho sbagliato a scrivere la retta...

scusato

posso risolvere sempre in questo modo giusto?

giusto

[piero_1]

"Miticome":In questo caso come trovo il vettore direttore della retta.[...]come fare a trovare il vettore direttore nel primo caso?

calcola i parametri direttori della retta così:

[tex]\[
\left\{ \begin{array}{l}
ax + by + cz + d = 0 \\
a'x + b'y + c'z + d' = 0 \\
\end{array} \right.
\][/tex]

i parametri direttori sono:

[tex]\[
\begin{array}{l}
l = \det \left( {\begin{array}{*{20}c}
b & c \\
{b'} & {c'} \\
\end{array}} \right) \\
m = \det \left( {\begin{array}{*{20}c}
a & c \\
{a'} & {c'} \\
\end{array}} \right) \\
n = \det \left( {\begin{array}{*{20}c}
a & b \\
{a'} & {b'} \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
\][/tex]