Retta appartenente a un piano

[deian91]

data la retta r:$ {(x=2at+1),(y=t-1),(z=(3a-1)*t):}$
e il piano $-x-6y+5z+7=0$

come calcolo per quali valori di $a in RR$ la retta appartiene al piano?

[Pazzuzu]

Ricontrolla il testo dell'esercizio magari hai distrattamente omesso qualcosa..
Se troviamo anche un solo punto della retta,non dipendente da $a$, che non appartiene al piano $\pi : -x -6y +5z +7=0$ allora la retta non potrà mai appartenere a $\pi$, sei d'accordo? Il massimo che possiamo ottenere modificando il vettore direttore è una condizione di parallelismo..

$ r: ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 2a ),( 1 ),( 3a-1 ) ) t + ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )$
Dunque :
$P_0 in r -> P_0= ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) -> \pi(P_0) = -(1) -6(-1) +5(0) +7 = 0 -> 5+7 = 0$

[ciampax]

Pazuzzu, non capisco cosa stai dimostrando. Hai fatto vedere semplicemente che il punto $P_0$ appartiene al piano. ora come faresti vedere quali sono le condizioni per $a$ affinché la retta giaccia tutta sul piano?

Suggerimento: se la retta è parallela al piano, il suo vettore direzione è ortogonale alla normale del piano...

[Pazzuzu]

Allora, metto ovviamente in dubbio i miei calcoli ciampax quindi ragioniamoci su: A meno che non stia commettendo un errore immenso di disattenzione mi sembra di aver dimostrato che $P_0$ non appartiene al piano.. infatti l'ultima relazione $5+7 = 0$ è falsa..

[ciampax]

Scusa, avevo letto di corsa il calcolo e mi sembra avessi fatto vedere che tutto veniva uguale a zero.

[deian91]

"Pazzuzu":Ricontrolla il testo dell'esercizio magari hai distrattamente omesso qualcosa..
Se troviamo anche un solo punto della retta,non dipendente da $a$, che non appartiene al piano $\pi : -x -6y +5z +7=0$ allora la retta non potrà mai appartenere a $\pi$, sei d'accordo? Il massimo che possiamo ottenere modificando il vettore direttore è una condizione di parallelismo..

$ r: ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 2a ),( 1 ),( 3a-1 ) ) t + ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )$
Dunque :
$P_0 in r -> P_0= ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) -> \pi(P_0) = -(1) -6(-1) +5(0) +7 = 0 -> 5+7 = 0$

testualmente dice:

data la retta r di equazione (che ho già scritto) si scrivano i valori di $a in RR$ per cui la retta r appartiene al piano pi per i tre punti A(0,-1,-1), B(4,0,1), C(3,1,-2).

ho quindi trovato l'equazione del piano (che ho scritto nel post iniziale) e ora dovrei stabilire per quali valori di a la retta appartiene a pi.

[Pazzuzu]

Beh prova a vedere se l'equazione del piano che hai scritto è soddisfatta dal punto A(0,-1,-1)..dovrebbe esserlo visto che passa proprio per tre punti uno dei quali è A..

[deian91]

si avevo scritto l'eqauzione di un altro esercizio.

quella giusta dovrebbe essere $-5x+10y+5z+15=0$

ma ancora non capisco come vedere se la retta appartiene al piano.

[ciampax]

Basta vedere quanto il vettore normale al piano è ortogonale al vettore direzione della retta. E verificare che ci sia almeno un punto della retta che appartiene al piano.

[Pazzuzu]

Oppure imponi che il vettore direttore della retta appartenga al sottospazio di giacitura del piano, $ -5x +10y + 5z = 0$ e contemporaneamente verifichi che $P_0$ appartenga a $\pi$:

1) $-(2a) +10 (1) + 5(3a-1) = 0$ Questa è una semplice equazione di primo grado..otterrai il valore di $a$ che stavi cercando..
2) $-5(1) +10(-1) + 5(0) +15= 0 $ Verificata!