Restrizione di un'applicazione lineare
Ciao a tutti.
Ho un problema con un esercizio (in realtà il problema è più che altro concettuale).
Sia [tex]$f = L_A : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex], ove [tex]$A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$[/tex]
Sia [tex]$U_h = \text{span}\{e_1, e_2 + he_4\}$[/tex] (gli [tex]e_i[/tex] sono i vettori della base canonica di [tex]\mathbb{R}^4[/tex])
Si chiede di stabilire per quali valori di [tex]h[/tex] la restrizione di [tex]f[/tex] a [tex]U_h[/tex], [tex]$f_h : U_h \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex] è iniettiva.
Per l'iniettività tutto ok.
Il mio problema è che non riesco a capire come è fatta la funzione. Nel senso, ho capito cosa succede a livello teorico, ma in pratica?
Penso di dover trovare la matrice associata a quell'applicazione, ma come la trovo?
Grazie a chi avrà voglia di rispondere!
Ho un problema con un esercizio (in realtà il problema è più che altro concettuale).
Sia [tex]$f = L_A : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex], ove [tex]$A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$[/tex]
Sia [tex]$U_h = \text{span}\{e_1, e_2 + he_4\}$[/tex] (gli [tex]e_i[/tex] sono i vettori della base canonica di [tex]\mathbb{R}^4[/tex])
Si chiede di stabilire per quali valori di [tex]h[/tex] la restrizione di [tex]f[/tex] a [tex]U_h[/tex], [tex]$f_h : U_h \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex] è iniettiva.
Per l'iniettività tutto ok.
Il mio problema è che non riesco a capire come è fatta la funzione. Nel senso, ho capito cosa succede a livello teorico, ma in pratica?
Penso di dover trovare la matrice associata a quell'applicazione, ma come la trovo?
Grazie a chi avrà voglia di rispondere!
Risposte
"Titania":
Penso di dover trovare la matrice associata a quell'applicazione, ma come la trovo?
Si esatto devi ricavare prima la matrice associata all' applicazione [tex]$f_h : U_h \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex]
[tex]U_h[/tex] è generato da due vettori linearmente indipendenti, quindi la sua dimensione è 2.
Basta ricordare la definizione di matrice associata, non hai idea su come procedere?
Prima di tutto grazie per la risposta 
Comunque un'idea l'avrei, non sono sicura sia corretta!
Farei così:
ho una base di [tex]U_h[/tex] e una di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] (quella canonica).
Vogliamo trovare la matrice [tex]H[/tex] associata all'applicazione.
Per definizione [tex]H[/tex] ha per colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo dei trasformati dei vettori della base di partenza.
Sarà quindi una matrice [tex]4\times2[/tex]
Calcoliamo i trasformati dei vettori: [tex]f_h\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$[/tex] e [tex]f_h\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}h - 2 \\ -4 \\ h - 2 \\ 2\end{pmatrix}[/tex]
La matrice associata a quell'applicazione lineare è quindi: [tex]H = \begin{pmatrix} 1 & h - 2 \\ 2 & -4 \\ 1 & h - 2 \\ -1 & 2\end{pmatrix}[/tex]
Può avere senso?
Comunque un'idea l'avrei, non sono sicura sia corretta!
Farei così:
ho una base di [tex]U_h[/tex] e una di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] (quella canonica).
Vogliamo trovare la matrice [tex]H[/tex] associata all'applicazione.
Per definizione [tex]H[/tex] ha per colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo dei trasformati dei vettori della base di partenza.
Sarà quindi una matrice [tex]4\times2[/tex]
Calcoliamo i trasformati dei vettori: [tex]f_h\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$[/tex] e [tex]f_h\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}h - 2 \\ -4 \\ h - 2 \\ 2\end{pmatrix}[/tex]
La matrice associata a quell'applicazione lineare è quindi: [tex]H = \begin{pmatrix} 1 & h - 2 \\ 2 & -4 \\ 1 & h - 2 \\ -1 & 2\end{pmatrix}[/tex]
Può avere senso?
Si corretto, ora puoi proseguire
non sono sicuro di questo, però mi sa che è più corretto dire "base dello spazio d' arrivo(partenza)"
"Titania":
base di arrivo
non sono sicuro di questo, però mi sa che è più corretto dire "base dello spazio d' arrivo(partenza)"
Grazie!
La matrice associata rappresenta l'applicazione rispetto a una base di partenza e a una di arrivo, quindi non credo sia sbagliato!
In ogni caso non credo sia particolarmente importante
Ciao!
"Alxxx28":
mi sa che è più corretto dire "base dello spazio d' arrivo(partenza)"
La matrice associata rappresenta l'applicazione rispetto a una base di partenza e a una di arrivo, quindi non credo sia sbagliato!
In ogni caso non credo sia particolarmente importante
Ciao!
Di niente 
forse non mi ero spiegato bene.
Il concetto si capisce, non intendevo che è sbagliata la definizione.
Mi riferivo solo a quel tratto che ho citato, ma come dicevo prima, non ne sono sicuro.
forse non mi ero spiegato bene.Il concetto si capisce, non intendevo che è sbagliata la definizione.
Mi riferivo solo a quel tratto che ho citato, ma come dicevo prima, non ne sono sicuro.
Ciao a tutti,
dopo aver trovato la matrice associata come stabilisco se la funzione è iniettiva?
Grazie anticipatamente per la risposta
dopo aver trovato la matrice associata come stabilisco se la funzione è iniettiva?
Grazie anticipatamente per la risposta
Devi ricordare che una applicazione lineare $L$ è iniettiva se il $ker(L)=0,$ cioè se il nucleo contiene solo il vettore nullo, poi applichi il teorema del rango che in questo caso ti dà $r(F_H)=2,$(con $F_H$ indico l'applicazione lineare associata ad $H$) cioè il rango di $F_H$ pari a 2 dato che vogliamo $ker(F_H)=0,$ e ti viene che dev'essere $h\ne 0$.
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