Restrizione di un'applicazione lineare

Titania1
Ciao a tutti.
Ho un problema con un esercizio (in realtà il problema è più che altro concettuale).

Sia [tex]$f = L_A : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex], ove [tex]$A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$[/tex]

Sia [tex]$U_h = \text{span}\{e_1, e_2 + he_4\}$[/tex] (gli [tex]e_i[/tex] sono i vettori della base canonica di [tex]\mathbb{R}^4[/tex])

Si chiede di stabilire per quali valori di [tex]h[/tex] la restrizione di [tex]f[/tex] a [tex]U_h[/tex], [tex]$f_h : U_h \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex] è iniettiva.

Per l'iniettività tutto ok.
Il mio problema è che non riesco a capire come è fatta la funzione. Nel senso, ho capito cosa succede a livello teorico, ma in pratica?
Penso di dover trovare la matrice associata a quell'applicazione, ma come la trovo?

Grazie a chi avrà voglia di rispondere!

Risposte
Alxxx28
"Titania":

Penso di dover trovare la matrice associata a quell'applicazione, ma come la trovo?


Si esatto devi ricavare prima la matrice associata all' applicazione [tex]$f_h : U_h \rightarrow \mathbb{R}^4$[/tex]
[tex]U_h[/tex] è generato da due vettori linearmente indipendenti, quindi la sua dimensione è 2.
Basta ricordare la definizione di matrice associata, non hai idea su come procedere?

Titania1
Prima di tutto grazie per la risposta :-)

Comunque un'idea l'avrei, non sono sicura sia corretta!
Farei così:

ho una base di [tex]U_h[/tex] e una di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] (quella canonica).

Vogliamo trovare la matrice [tex]H[/tex] associata all'applicazione.
Per definizione [tex]H[/tex] ha per colonne le coordinate rispetto alla base di arrivo dei trasformati dei vettori della base di partenza.
Sarà quindi una matrice [tex]4\times2[/tex]

Calcoliamo i trasformati dei vettori: [tex]f_h\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$[/tex] e [tex]f_h\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ h \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}h - 2 \\ -4 \\ h - 2 \\ 2\end{pmatrix}[/tex]

La matrice associata a quell'applicazione lineare è quindi: [tex]H = \begin{pmatrix} 1 & h - 2 \\ 2 & -4 \\ 1 & h - 2 \\ -1 & 2\end{pmatrix}[/tex]

Può avere senso?

Alxxx28
Si corretto, ora puoi proseguire :-)

"Titania":
base di arrivo

non sono sicuro di questo, però mi sa che è più corretto dire "base dello spazio d' arrivo(partenza)"

Titania1
Grazie!

"Alxxx28":
mi sa che è più corretto dire "base dello spazio d' arrivo(partenza)"


La matrice associata rappresenta l'applicazione rispetto a una base di partenza e a una di arrivo, quindi non credo sia sbagliato!
In ogni caso non credo sia particolarmente importante :)
Ciao!

Alxxx28
Di niente ;) forse non mi ero spiegato bene.
Il concetto si capisce, non intendevo che è sbagliata la definizione.
Mi riferivo solo a quel tratto che ho citato, ma come dicevo prima, non ne sono sicuro.

sottostee
Ciao a tutti,
dopo aver trovato la matrice associata come stabilisco se la funzione è iniettiva?

Grazie anticipatamente per la risposta

regim
Devi ricordare che una applicazione lineare $L$ è iniettiva se il $ker(L)=0,$ cioè se il nucleo contiene solo il vettore nullo, poi applichi il teorema del rango che in questo caso ti dà $r(F_H)=2,$(con $F_H$ indico l'applicazione lineare associata ad $H$) cioè il rango di $F_H$ pari a 2 dato che vogliamo $ker(F_H)=0,$ e ti viene che dev'essere $h\ne 0$.

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