Relazioni tra invertibilità e diagonalizzazione di matrici.
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con questo esercizio:
(i) Trovare una matrice invertibile che non sia diagonalizzabile
(ii) Trovare una matrice diagonalizzabile che non sia invertibile
Il primo punto non so, non riesco a farlo, il secondo ho preso la prima matrice con determinante nullo che mi è capitata e ho provato a diagonalizzarla...
(ii) presa la matrice unitaria di ordine 2 i suoi autovalori saranno 2 e distinti, per l'esattezza \(\displaystyle \lambda_1=0 \wedge \lambda_2 = 2 \). Ne concludiamo che la matrice in esame è diagonalizzabile, ma dato che il suo determinante è nullo allora non sarà invertibile. Mi sembra che fin qui non ci piovi.
(i) Non ho la più pallida idea di come fare... Qualche suggerimento?
Grazie tante dell'aiuto!
(i) Trovare una matrice invertibile che non sia diagonalizzabile
(ii) Trovare una matrice diagonalizzabile che non sia invertibile
Il primo punto non so, non riesco a farlo, il secondo ho preso la prima matrice con determinante nullo che mi è capitata e ho provato a diagonalizzarla...
(ii) presa la matrice unitaria di ordine 2 i suoi autovalori saranno 2 e distinti, per l'esattezza \(\displaystyle \lambda_1=0 \wedge \lambda_2 = 2 \). Ne concludiamo che la matrice in esame è diagonalizzabile, ma dato che il suo determinante è nullo allora non sarà invertibile. Mi sembra che fin qui non ci piovi.
(i) Non ho la più pallida idea di come fare... Qualche suggerimento?
Grazie tante dell'aiuto!
Risposte
Ma scusa, mi sembra che potresti sforzarti un po' di più, prendi gli esempi che hai affrontato in cui la matrice non era diagonalizzabile ed analizza l'invertibilità.
"LogicalCake":
(i) Non ho la più pallida idea di come fare... Qualche suggerimento?
Innanzitutto, dipende dal campo...che non specifichi mai
Assumerò che siamo in campo reale.
Secondo me devi sforzarti di più a pensare in modo geometrico. Limitiamoci a $RR^2$ per ora.
Per il primo caso, qual è una trasformazione che non lascia nemmeno un asse (rispetto ad un sistema di riferimento dato) al suo posto (indipendentemente o meno che ne cambi la scala)? Intuitivamente, quale sceglieresti e perchè?
Stessa cosa per il secondo punto. Qual è una trasformazione che lascia un asse al suo posto e riscala a zero un altro?
P.S. Nota che sono solo due esempi e non significa che siano le sole trasformazioni che risolvono il problema (specie in $RR^n$) ma è utile porsi le domande giuste per arrivare ad almeno una soluzione.
"Bokonon":
[quote="LogicalCake"]
(i) Non ho la più pallida idea di come fare... Qualche suggerimento?
Innanzitutto, dipende dal campo...che non specifichi mai
Assumerò che siamo in campo reale.
Secondo me devi sforzarti di più a pensare in modo geometrico. Limitiamoci a $RR^2$ per ora.
Per il primo caso, qual è una trasformazione che non lascia nemmeno un asse (rispetto ad un sistema di riferimento dato) al suo posto (indipendentemente o meno che ne cambi la scala)? Intuitivamente, quale sceglieresti e perchè?
Stessa cosa per il secondo punto. Qual è una trasformazione che lascia un asse al suo posto e riscala a zero un altro?
P.S. Nota che sono solo due esempi e non significa che siano le sole trasformazioni che risolvono il problema (specie in $RR^n$) ma è utile porsi le domande giuste per arrivare ad almeno una soluzione.[/quote]
Una trasformazione che "non lascia nemmeno un asse" sarebbe la trasformazione che porta ogni vettore dello spazio di partenza nello zero dello spazio di arrivo giusto? Non è descritta dalla matrice nulla questa applicazione?
mentre una trasformazione che lascia inalterato un asse e fa collassare l'altro sul primo potrebbe essere descritta da \(\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \) giusto?
la matrice nulla ha determinante nullo quindi non è invertibile, però è diagonale. Mentre l'altra matrice non è invertibile ma è comunque diagonalizzabile poiché ha due autovalori distinti... Non capisco dove stia il nesso, non ho capito...
"LogicalCake":
mentre una trasformazione che lascia inalterato un asse e fa collassare l'altro sul primo potrebbe essere descritta da \(\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \) giusto?
E' giusta ma non era questo il punto!
La risposta era Qualsiasi matrice di proiezione
La matrice che hai scritto non è altro che la matrice diagonale degli autovalori: va bene per qualsiasi proiezione su uno dei due assi generati da una base qualsiasi di $RR^2$.
Se il sistema di riferimento è la base canonica e la proiezione avviene sul sottospazio generato da $e_1$ lungo la direzione $e_2$, allora abbiamo una proiezione ortogonale.
Ora prendiamo invece come base ${v_1,v_2}$ due vettori con un angolo di 45° e di lunghezza diversa. La medesima matrice rappresenta la proiezione lungo la direzione $v_2$ sul sottospazio generato da $v_1$...e possiamo anche affermare che rispetto a questo sistema di riferimento è una proiezione "ortogonale" nonostante l'angolo sia di 45° (il concetto di ortogonalità dipende appunto dal sistema di riferimento che va visto come una base canonica).
Adesso assegniamo delle componenti alla suddetta base rispetto ad ${e_1,e_2}$ in $RR^2$ ovvero${v_1=(1,0),v_2=(1,1)}$. Rispetto alla base canonica la trasformazione diventa $ ( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) ) $ ed è appunto la proiezione lungo la direzione del sottospazio $y=x$ sul sottospazio $y=0$, quindi (rispetto alla base canonica) è una proiezione a 45°.
Anche questa matrice ha autovalori 1 e zero, il che significa (e vale in generale) che tutto ciò che viene proiettato lungo qualsiasi direzione sull'autospazio collegato all'autovalore 1 resta ovviamente se stesso perchè è già sul piano di proiezione (sono tutti autovettori) mentre la componente o la combinazione lineare di componenti (dipende dal sistema di riferimento scelto) di tutti i vettori che NON sono su quel sottospazio vettoriale verrà azzerata. Se invece di 1, l'autovalore fosse 3, allora è ancora una matrice di proiezione ma i vettori proiettati triplicano la loro norma.
Quindi qualsiasi matrice $nxxn$ di proiezione, rispetto a qualsiasi sistema di riferimento, risolveva il punto 2.
Per il punto 1 invece la risposta è Qualsiasi matrice di rotazione (in campo reale) che non abbia un angolo di 180° o 360°. E' decisamente la scelta più semplice...e su cui riflettere. Domandati se possono esserci due assi qualsiasi (sempre rispetto ad un sistema di riferimento dato) che possano restare immutati. Se la risposta è no, allora non può essere diagonalizzabile...ma certamente è invertibile dato che possiamo effettuare anche la rotazione opposta e riportare tutto come prima.
Quando ti ho invitato a ragionare geometricamente, intendevo proprio come ho fatto sopra. Alla fine qualsiasi matrice è associata ad una trasformazione lineare che fa solo e unicamente una combinazione delle seguenti cose: rotazione, cambio scala/e. Le rotazioni degli assi possono essere sincrone o asincrone. Possono anche portare un asse sopra un altro (potremmo chiamarle degenerative). Stessa cosa per il cambio scala: possono comprimere o allargare le scale degli assi (rispetto al riferimento dato) o azzerarne la scala (la proiezione..che è a suo modo degenerativa). Non avvengono altre trasformazioni! Questo è il succo dell'algebra lineare...ovvero la decomposizione polare.
Fantastico, forse ho capito. Quello che facciamo quando diagonalizziamo una matrice è sostanzialmente riscrivere la trasformazione data come una sorta di combinazione di contrazioni e dilatazioni lungo gli assi (dove questi assi sono gli autospazi associati agli autovalori)? Quando uno di questi assi viene proiettato su un altro perdiamo delle informazioni per cui la trasformazione non sarà invertibile esatto?
Mentre nel caso in cui consideriamo delle matrici di rotazione possiamo dire che queste sono sicuramente invertibili ma non diagonalizzabili giusto? Propriamente se provo a diagonalizzare le matrici di rotazione ottengo autovalori appartenenti al campo dei complessi, ad esempio:
La rotazione di 90°:
\(\displaystyle M = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-i&i\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}i&1\\-i&1\end{bmatrix}\)
Il che mi sembra ovvio, moltiplicare un numero reale per l'unità immaginaria lo ruota in senso antiorario di 90° nel piano di Argand-Gauss.
Mentre per 180°
\(\displaystyle M =\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix} \)
è già diagonale.
Intuitivamente perché in seguito alla trasformazione gli assi alla fine restano nelle loro posizioni originali
Quindi le uniche rotazioni ad essere diagonalizzabili in \(\displaystyle \mathbb{R^2} \) sono 180° e 360°, mentre le altre se diagonalizzate hanno solo autovalori in \(\displaystyle \mathbb{C} \)?
Grazie davvero per l'aiuto che mi state dando, una risposta veramente esaustiva. Spesso perdo di vista l'interpretazione geometrica...
(Chiedo scusa per la mancanza di formalismo ma vorrei capire bene i concetti di base)
Mentre nel caso in cui consideriamo delle matrici di rotazione possiamo dire che queste sono sicuramente invertibili ma non diagonalizzabili giusto? Propriamente se provo a diagonalizzare le matrici di rotazione ottengo autovalori appartenenti al campo dei complessi, ad esempio:
La rotazione di 90°:
\(\displaystyle M = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-i&i\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}i&1\\-i&1\end{bmatrix}\)
Il che mi sembra ovvio, moltiplicare un numero reale per l'unità immaginaria lo ruota in senso antiorario di 90° nel piano di Argand-Gauss.
Mentre per 180°
\(\displaystyle M =\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix} \)
è già diagonale.
Intuitivamente perché in seguito alla trasformazione gli assi alla fine restano nelle loro posizioni originali
Quindi le uniche rotazioni ad essere diagonalizzabili in \(\displaystyle \mathbb{R^2} \) sono 180° e 360°, mentre le altre se diagonalizzate hanno solo autovalori in \(\displaystyle \mathbb{C} \)?
Grazie davvero per l'aiuto che mi state dando, una risposta veramente esaustiva. Spesso perdo di vista l'interpretazione geometrica...
(Chiedo scusa per la mancanza di formalismo ma vorrei capire bene i concetti di base)
"LogicalCake":
Fantastico, forse ho capito. Quello che facciamo quando diagonalizziamo una matrice è sostanzialmente riscrivere la trasformazione data come una sorta di combinazione di contrazioni e dilatazioni lungo gli assi (dove questi assi sono gli autospazi associati agli autovalori)?
Mannò! Questo è ciò che fa una generica applicazione.
Partiamo da un'applicazione le cui entrate sono in uno specifico campo e rispetto ad uno specifico sistema di riferimento con una scala ben definita. A questo punto possiamo associare alla trasformazione una matrice.
Nella fase in cui ti trovi, le entrate sono numeri reali, il sistema di riferimento è quello canonico e la scala è unitaria.
Se la nostra matrice associata alla trasformazione lineare è una matrice diagonale, abbiamo il migliore dei mondi, perchè vediamo chiaramente cosa fa. Per esempio, prende la prima componente e la dimezza, mentre raddoppia la seconda componente. Non esiste una matrice più semplice da interpretare.
Se la nostra matrice è più complicata di una matrice diagonale, possiamo chiederci se esista un altro sistema di riferimento (sempre espresso rispetto al riferimento scelto a priori, ovvero la base canonica) per cui la nostra applicazione sia naturalmente diagonale (stavolta rispetto alla nuova base).
Le direzioni che sono invarianti rispetto alla trasformazione lineare (a meno di un fattore di scala) sono le direzioni che cerchiamo.
Nell'esempio che ti ho portato, ho fatto esattamente il contrario. Ho fornito una base generica a cui ho successivamente assegnato le componenti rispetto alla base canonica.
Poi ho fornito un'applicazione lineare a cui è associata una matrice diagonale (rispetto a questa base). Infine ho riscritto la medesima matrice rispetto alla base canonica.
Nel mondo in cui il sistema di riferimento è la base generica (autovettori), ciò che fa la matrice è immediato e semplice.
In molti frangenti, passare da una base all'altra può convenire assai.
"LogicalCake":
Quando uno di questi assi viene proiettato su un altro perdiamo delle informazioni per cui la trasformazione non sarà invertibile esatto?
Il succo è quello perchè non possiamo ricostruire la direzione della proiezione. In modo un po' più formale, quando l'applicazione prende tutti i vettori di uno spazio vettoriale e li proietta su un suo sottospazio, allora il kernel della matrice associata alla trasformazione lineare ha dimensione diversa da zero, pertanto l'applicazione non è iniettiva: ergo non è invertibile.
Mi sono appena reso conto dell'enorme stupidaggine che ho scritto... Grazie tante, avevo capito, ma scrivendo la risposta ho fatto un pasticcio come al mio solito! Siete davvero di grande aiuto!
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