Relazioni di $ W $ su $ RR $

crazyjunior
Salve a tutti questo è il mio primo post...comunque volevo esporvi un mio dubbio riguardante il sottospazio somma ed intersezione sia su $ C $ sia su $ R $...ad esempio questo esercizio riesco a svolgerlo quasi tutto il mio problema sta nel fatto che non riesco a trovare le relazioni di un sottospazio (dato per generatori)...forse è meglio andare ai numeri...mi spiego meglio:

L'esercizio mi dà:

$ U={A in Mat_2(CC) | X^tAX=A, X= ( (0, i ), (-i, 0) ) } $
$ W=< ( (1, i ), (i, 0) ) , ( (i, 0), (0, -i) ), ( (0, i ), (i, 1) ) > $

adesso mi trovo le relazioni di $ U $ su $ CC $...

$ A={( (a, b), (c, d) ) | a,b,c,d in CC} $
$ X^t= ( (0,-i),(i,0) ) $
$X^tA= ( (0,-i),(i,0) ) ( (a, b), (c, d) )= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) $
$X^tAX= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) ( (0, i ), (-i, 0) )= ( (-d, c), (b, -a) ) $
$X^tAX=A rArr ( (-d, c), (b, -a) )=( (a, b), (c, d) ) rArr a=-d, c=b $
$U={A in Mat_2(CC) | a=-d, c=b} $
$U={( (-d, b), (b, d) ) | b,d in CC} $
$B_U= < ( (-1, 0), (0, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) ) >$
quindi la $ dim_(u_CC)=2 $

ora vado a trovarmi le relazioni di W:

la seconda matrice è linearmente dipendente dalle altre due se sommiamo la prima con la terza entrambe moltiplicate per i quindi possiamo eliminarla.

$\alpha( (1, i ), (i, 0) )+\beta( (0, i ), (i, 1) ) $
ottengo:
$( (\alpha, \alphai+\betai ), (\alphai+\betai, \beta) )$
e mi ricavo le relazioni di W su CC ovvero:
$W={A in Mat_2(CC) |b=c, b=ai+di}$
$W={( (a, ai+di ), (ai+di, d) )| a,d in CC}$
$B_W=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) )>$
la $dim_(w_CC) = 2$

vado a fare il sottospazio intersezione:
$U nn W=\{(a=-d),(c=b),(b=c),(b=ai+di):}$
da cui mi ricavo che $c=b=0, a=-d$ quindi:
$U nn W={A in Mat_2(CC)| c=b=0, a=-d}$
$U nn W={( (-d, 0 ), (0, d) ) | d in CC}$
$B_(u nn w)=<( (-1, 0 ), (0, 1) )>$
la $dim_((u nn w)_CC) = 1$

Sottospazio somma:
applico la relazione di grassmann e dico che la $dim_((u+w)_CC)=2+2-1=3$
$B_(u+w)=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) )>$

Ora l'esercizio vuole il sottospazio intersezione e somma su $RR$ quindi....

mi trovo le relazioni di $U$ su $RR$:

definisco: $a=\alpha+i\beta, b=\gamma+i\delta, c=\epsilon+i\zeta, d=\eta+i\theta$
$U={A in Mat_2(CC) | \alpha+i\beta=-\eta-i\theta, \epsilon+i\zeta=\gamma+i\delta}$
$U={( (-\eta-i\theta, \gamma+i\delta ), (\gamma+i\delta, \eta+i\theta) ) | \eta,\theta,\gamma,\delta in RR}$
$B_(u_RR)=<( (-1, 0 ), (0, 1) ),( (-i, 0 ), (0, i) ), ( (0, 1 ), (1, 0) ), ( (0, i), (i, 0) )>$
quindi la $ dim_(u_RR)=4 $ che è il doppio di quella su $CC$

e adesso vengono i problemi ovvero quando vado a fare le relazioni di $W$ su $RR$...allora io so che la dimensione di $W$ essendo dato per generatori non può aumentare quindi la dimensione di $W$ su $RR$ è 3 perchè la relazione precedente che lega la seconda matrice con le altre due non è più valida perchè siamo sui reali...adesso come faccio per trovare le relazioni di $W$ su $RR$???

ho provato a fare cosi:
$\alpha( (1, i ), (i, 0) ) +\beta( (i, 0), (0, -i) ) +\gamma( (0, i ), (i, 1) )$
mi ricavo che $b=c , i(a+d)=b$ però poi mi blocco perchè la dimensione è 2 non 3...perchè???

Risposte
crazyjunior
qualcuno può aiutarmi???? per favore è importante...

claudiamatica
Ciao
scusami io non ho capito la domanda, cioè tu hai dei sottospazi dello spazio delle matrici 2x2 a coefficienti in $CC$, non capisco che significa "trovare le relazioni su $RR$".

crazyjunior
devo trovare i sottospazi intersezione e somma prima su $CC$ e poi su $RR$...ma per trovarmi le basi dei due sottospazi...devo prima trovarmi le "relazioni" di $U$ e di $W$ prima su $CC$ e poi su $RR$...ad esempio le relazioni di $U$ su $CC$ erano: $a=-d$ e $b=c$ cosi poi mi potevo creare una base...mentre le relazioni di $U$ su $RR$ erano: $\alpha+i\beta=-\eta-i\theta$ , $\epsilon+i\zeta=\gamma+i\delta$...adesso il problema sta nel fatto che non riesco a crearmi il sottospazio intersezione e di conseguenza anche quello somma perchè non riesco a trovare le relazioni di $W$ (dato per generatori) su $RR$...qualche idea??

claudiamatica
Scusami.. forse sono tonta io ma continuo a non capire che significa "trovare le relazioni su $RR$". Cioè puoi spiegarmelo formalmente?
Significa che gli spazi di matrici sono da intendere a coefficienti reali anzichè complessi?

dissonance
@claudia: Secondo me significa che deve trovare dei sistemi di equazioni lineari le cui soluzioni siano rappresentazioni dei sottospazi dati. Vero, crazy?

claudiamatica
@Dissonance :) grazie per il tentativo
Io devo confessare di continuare a non capire..
cioè: abbiamo sti sottospazi di $M_2(CC)$, ne calcoliamo le dimensioni, l'intersezione, la somma diretta, quello che è.
Poi che significa "vediamoli su $RR$"? che devo rifare tutto l'esercizio considerandoli sottospazi di $M_2(RR)$? no, perchè ci sono delle matrici con elementi immaginari.. quindi non va bene.
Devo considerare U come il sottospazio delle matrici a coefficienti REALI che soddisfano quella relazione che coinvolge la matrice a coefficienti complessi? (cioè vedere $U \sub M_2(RR) \sub M_2(CC)$?
Davvero, non capisco che si intende

dissonance
"claudiamatica":
@Dissonance :) grazie per il tentativo
Io devo confessare di continuare a non capire..
:lol: Hai ragione, ho riletto per bene gli altri post e mi associo alla tua confessione: neanche io capisco che cosa si intende... I miei dubbi sono gli stessi tuoi. Specialmente "vediamoli su $RR$" è da snocciolare.

crazyjunior
ok allora...la teoria ci insegna che la dimensione di un sottospazio su $CC$ è sempre la metà della dimensione dello stesso sottospazio però su $RR$...il testo dice se " $U$ e $W$ sono $CC$-sottospazi vettoriali di $Mat_2CC$ e se $U$ e $W$ sono $RR$-sottospazi vettoriali di $Mat_2CC$ e in entrambi i casi trovare l'intersezione e la somma"...

claudiamatica
Vediamo se a sto giro ho capito:
Mettiamo che io ho il sottospazio, in $M_2(CC)$, $V= ( ( a ,b ),( 0 , b ) ) a,b in CC$ .
Ora questo ha dimensioe 2 su $CC$. Se gli scalari delle combinazioni lineari li dobbiamo prendere su $RR$, invece di prenderli su $CC$, i generatori in pratica si devono spezzare. Ovvero sarà lo spazio degli elementi: $ ( ( s ,t ),( 0 , t ) )+i((n,m),(0,m)) ; s,t,n,m in RR$ (che è a 4 parametri)
Così?

crazyjunior
perfetto!!!

claudiamatica
La perplessità nasceva dal fatto che mi sembra che l'esercizio sia poco sensato, nel senso di davvero poco interessante.
Cioè bisogna soltanto "separare" la dipendenza dalla parte reale e da quella immaginaria.
In ogni caso.. invece di scrivere la matrice generica come $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ la scrivi $ ( ( a+ix , b+iy ),( c+iz , d+it ) ) $ . Prendi le relazioni che hai trovato su $CC$ e imponile per gli elementi della matrice scritti in questa forma.. ottieni due uguaglianze tra numeri complessi che danno luogo a quattro uguaglianze tra numeri reali.
Le prime due uguaglianze sono chiaramente $b=c$ e $y=z$.. ti lascio calcolare le altre due

crazyjunior
ok...il problema è che $W$ è dato per generatori quindi la dimensione di $W$ può essere al massimo 3 non può raddoppiare...

claudiamatica
Dissonance per favore vienimi in aiuto.

Crazyjunior io non capisco. Veramente, non capisco. Ma perchè dici che poichè $W$ è dato per generatori la sua dimensione (su $RR$) è al massimo 3?
Non avevamo stabilito che $W$ ha dimensione 2 su $CC$? E questo non implica che ha dimensione 4 su $RR$?
Vuoi i generatori?

dissonance
Secondo me, crazy, è meglio se riporti verbatim il testo dell'esercizio. Non si capisce proprio di che si tratta. Poi vatti a studiare un po' di algebra lineare, per esempio dagli appunti di Sergio, perché hai un po' di confusione sui concetti di "dimensione" e di "sottospazio" (credo). Soprattutto, perché continui a sottolineare "$W$ è dato per generatori"? Cosa c'entra la maniera di assegnare un sottospazio con le sue proprietà?

claudiamatica
grazie

crazyjunior
come che c'entra???? se $W$ è dato per "generatori" una sua base non può mai avere dimensione maggiore sia se siamo su $CC$ sia se siamo su $RR$...cmq più tardi vi farò un esempio di questo tipo di esercizi così vediamo se riusciamo ad uscirne fuori...ah dimenticavo...grazie della pazienza:D

crazyjunior
cmq il testo dice che:
1)"Determinare i $CC$-sottospazi di $U nn W$ e $U + W$, la loro dimensione e una base di entrambi."
2)"Dopo aver osservato che $U e W$ sono altresì $RR$-sottospazi di $Mat_2(CC)$, determinare gli $RR$-sottospazi $U nn W$ e $U + W$."

voi cosa fareste??

Ps:ne ho fatti un casino di sto tipo di esercizi, ma quando mi si propone un sottospazio dato per generatori mi blocco...perchè secondo la teoria: la dimensione di questo sottospazio non raddoppia su $RR$ e quindi non riesco a trovare le relazioni...:D

claudiamatica
C'era una volta l'antico regno di $M_2(CC)$.
Il principe piano $P$ era stato trasformato da una strega cattiva in una retta complessa $ P = < ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) >$ ! E condannato per tutta la sua vita a essere dato per generatori. Tutti conoscevano il principe piano, però, e conoscevano i suoi sentimenti: $P ={ ( ( z , 0 ),( 0 , 0 ) ), z in CC }$.
[...]
E finalmente un bel giorno la fata immaginaria venne a salvare il principe piano! Con un bacio biettivo separò la sua parte reale da quella distorta del sortilegio:
$P ={ ( ( x+iy , 0 ),( 0 , 0 ) ), x,y in RR} $ = $<( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ), i ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) > .

E il principe piano tornò se stesso

Martino
@claudiamatica: sei forte :-D

crazyjunior
...così un giorno il padre del principe "piano"...il re "$W$alter"...era sotto uno strano incantesimo in quanto non riusciva più a fermarsi...ingrassava ingrassava ed continuava ad ingrassare sempre più...non riusciva più addirittura a sedersi sul suo trono ($dim_(W_RR)=6$)...fino a quando un bel giorno arrivò il mago "pigreco" e disse: "cosa sta succedendo qui??? tu sei un re e come tale devi stare sul tuo trono"...e con una delle sue potentissime magie tutto tornò alla normalità ($dim_(W_RR)=3$)...

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.