Relazioni di $ W $ su $ RR $
Salve a tutti questo è il mio primo post...comunque volevo esporvi un mio dubbio riguardante il sottospazio somma ed intersezione sia su $ C $ sia su $ R $...ad esempio questo esercizio riesco a svolgerlo quasi tutto il mio problema sta nel fatto che non riesco a trovare le relazioni di un sottospazio (dato per generatori)...forse è meglio andare ai numeri...mi spiego meglio:
L'esercizio mi dà:
$ U={A in Mat_2(CC) | X^tAX=A, X= ( (0, i ), (-i, 0) ) } $
$ W=< ( (1, i ), (i, 0) ) , ( (i, 0), (0, -i) ), ( (0, i ), (i, 1) ) > $
adesso mi trovo le relazioni di $ U $ su $ CC $...
$ A={( (a, b), (c, d) ) | a,b,c,d in CC} $
$ X^t= ( (0,-i),(i,0) ) $
$X^tA= ( (0,-i),(i,0) ) ( (a, b), (c, d) )= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) $
$X^tAX= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) ( (0, i ), (-i, 0) )= ( (-d, c), (b, -a) ) $
$X^tAX=A rArr ( (-d, c), (b, -a) )=( (a, b), (c, d) ) rArr a=-d, c=b $
$U={A in Mat_2(CC) | a=-d, c=b} $
$U={( (-d, b), (b, d) ) | b,d in CC} $
$B_U= < ( (-1, 0), (0, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) ) >$
quindi la $ dim_(u_CC)=2 $
ora vado a trovarmi le relazioni di W:
la seconda matrice è linearmente dipendente dalle altre due se sommiamo la prima con la terza entrambe moltiplicate per i quindi possiamo eliminarla.
$\alpha( (1, i ), (i, 0) )+\beta( (0, i ), (i, 1) ) $
ottengo:
$( (\alpha, \alphai+\betai ), (\alphai+\betai, \beta) )$
e mi ricavo le relazioni di W su CC ovvero:
$W={A in Mat_2(CC) |b=c, b=ai+di}$
$W={( (a, ai+di ), (ai+di, d) )| a,d in CC}$
$B_W=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) )>$
la $dim_(w_CC) = 2$
vado a fare il sottospazio intersezione:
$U nn W=\{(a=-d),(c=b),(b=c),(b=ai+di):}$
da cui mi ricavo che $c=b=0, a=-d$ quindi:
$U nn W={A in Mat_2(CC)| c=b=0, a=-d}$
$U nn W={( (-d, 0 ), (0, d) ) | d in CC}$
$B_(u nn w)=<( (-1, 0 ), (0, 1) )>$
la $dim_((u nn w)_CC) = 1$
Sottospazio somma:
applico la relazione di grassmann e dico che la $dim_((u+w)_CC)=2+2-1=3$
$B_(u+w)=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) )>$
Ora l'esercizio vuole il sottospazio intersezione e somma su $RR$ quindi....
mi trovo le relazioni di $U$ su $RR$:
definisco: $a=\alpha+i\beta, b=\gamma+i\delta, c=\epsilon+i\zeta, d=\eta+i\theta$
$U={A in Mat_2(CC) | \alpha+i\beta=-\eta-i\theta, \epsilon+i\zeta=\gamma+i\delta}$
$U={( (-\eta-i\theta, \gamma+i\delta ), (\gamma+i\delta, \eta+i\theta) ) | \eta,\theta,\gamma,\delta in RR}$
$B_(u_RR)=<( (-1, 0 ), (0, 1) ),( (-i, 0 ), (0, i) ), ( (0, 1 ), (1, 0) ), ( (0, i), (i, 0) )>$
quindi la $ dim_(u_RR)=4 $ che è il doppio di quella su $CC$
e adesso vengono i problemi ovvero quando vado a fare le relazioni di $W$ su $RR$...allora io so che la dimensione di $W$ essendo dato per generatori non può aumentare quindi la dimensione di $W$ su $RR$ è 3 perchè la relazione precedente che lega la seconda matrice con le altre due non è più valida perchè siamo sui reali...adesso come faccio per trovare le relazioni di $W$ su $RR$???
ho provato a fare cosi:
$\alpha( (1, i ), (i, 0) ) +\beta( (i, 0), (0, -i) ) +\gamma( (0, i ), (i, 1) )$
mi ricavo che $b=c , i(a+d)=b$ però poi mi blocco perchè la dimensione è 2 non 3...perchè???
L'esercizio mi dà:
$ U={A in Mat_2(CC) | X^tAX=A, X= ( (0, i ), (-i, 0) ) } $
$ W=< ( (1, i ), (i, 0) ) , ( (i, 0), (0, -i) ), ( (0, i ), (i, 1) ) > $
adesso mi trovo le relazioni di $ U $ su $ CC $...
$ A={( (a, b), (c, d) ) | a,b,c,d in CC} $
$ X^t= ( (0,-i),(i,0) ) $
$X^tA= ( (0,-i),(i,0) ) ( (a, b), (c, d) )= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) $
$X^tAX= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) ( (0, i ), (-i, 0) )= ( (-d, c), (b, -a) ) $
$X^tAX=A rArr ( (-d, c), (b, -a) )=( (a, b), (c, d) ) rArr a=-d, c=b $
$U={A in Mat_2(CC) | a=-d, c=b} $
$U={( (-d, b), (b, d) ) | b,d in CC} $
$B_U= < ( (-1, 0), (0, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) ) >$
quindi la $ dim_(u_CC)=2 $
ora vado a trovarmi le relazioni di W:
la seconda matrice è linearmente dipendente dalle altre due se sommiamo la prima con la terza entrambe moltiplicate per i quindi possiamo eliminarla.
$\alpha( (1, i ), (i, 0) )+\beta( (0, i ), (i, 1) ) $
ottengo:
$( (\alpha, \alphai+\betai ), (\alphai+\betai, \beta) )$
e mi ricavo le relazioni di W su CC ovvero:
$W={A in Mat_2(CC) |b=c, b=ai+di}$
$W={( (a, ai+di ), (ai+di, d) )| a,d in CC}$
$B_W=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) )>$
la $dim_(w_CC) = 2$
vado a fare il sottospazio intersezione:
$U nn W=\{(a=-d),(c=b),(b=c),(b=ai+di):}$
da cui mi ricavo che $c=b=0, a=-d$ quindi:
$U nn W={A in Mat_2(CC)| c=b=0, a=-d}$
$U nn W={( (-d, 0 ), (0, d) ) | d in CC}$
$B_(u nn w)=<( (-1, 0 ), (0, 1) )>$
la $dim_((u nn w)_CC) = 1$
Sottospazio somma:
applico la relazione di grassmann e dico che la $dim_((u+w)_CC)=2+2-1=3$
$B_(u+w)=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) )>$
Ora l'esercizio vuole il sottospazio intersezione e somma su $RR$ quindi....
mi trovo le relazioni di $U$ su $RR$:
definisco: $a=\alpha+i\beta, b=\gamma+i\delta, c=\epsilon+i\zeta, d=\eta+i\theta$
$U={A in Mat_2(CC) | \alpha+i\beta=-\eta-i\theta, \epsilon+i\zeta=\gamma+i\delta}$
$U={( (-\eta-i\theta, \gamma+i\delta ), (\gamma+i\delta, \eta+i\theta) ) | \eta,\theta,\gamma,\delta in RR}$
$B_(u_RR)=<( (-1, 0 ), (0, 1) ),( (-i, 0 ), (0, i) ), ( (0, 1 ), (1, 0) ), ( (0, i), (i, 0) )>$
quindi la $ dim_(u_RR)=4 $ che è il doppio di quella su $CC$
e adesso vengono i problemi ovvero quando vado a fare le relazioni di $W$ su $RR$...allora io so che la dimensione di $W$ essendo dato per generatori non può aumentare quindi la dimensione di $W$ su $RR$ è 3 perchè la relazione precedente che lega la seconda matrice con le altre due non è più valida perchè siamo sui reali...adesso come faccio per trovare le relazioni di $W$ su $RR$???
ho provato a fare cosi:
$\alpha( (1, i ), (i, 0) ) +\beta( (i, 0), (0, -i) ) +\gamma( (0, i ), (i, 1) )$
mi ricavo che $b=c , i(a+d)=b$ però poi mi blocco perchè la dimensione è 2 non 3...perchè???
Risposte
qualcuno può aiutarmi???? per favore è importante...
Ciao
scusami io non ho capito la domanda, cioè tu hai dei sottospazi dello spazio delle matrici 2x2 a coefficienti in $CC$, non capisco che significa "trovare le relazioni su $RR$".
scusami io non ho capito la domanda, cioè tu hai dei sottospazi dello spazio delle matrici 2x2 a coefficienti in $CC$, non capisco che significa "trovare le relazioni su $RR$".
devo trovare i sottospazi intersezione e somma prima su $CC$ e poi su $RR$...ma per trovarmi le basi dei due sottospazi...devo prima trovarmi le "relazioni" di $U$ e di $W$ prima su $CC$ e poi su $RR$...ad esempio le relazioni di $U$ su $CC$ erano: $a=-d$ e $b=c$ cosi poi mi potevo creare una base...mentre le relazioni di $U$ su $RR$ erano: $\alpha+i\beta=-\eta-i\theta$ , $\epsilon+i\zeta=\gamma+i\delta$...adesso il problema sta nel fatto che non riesco a crearmi il sottospazio intersezione e di conseguenza anche quello somma perchè non riesco a trovare le relazioni di $W$ (dato per generatori) su $RR$...qualche idea??
Scusami.. forse sono tonta io ma continuo a non capire che significa "trovare le relazioni su $RR$". Cioè puoi spiegarmelo formalmente?
Significa che gli spazi di matrici sono da intendere a coefficienti reali anzichè complessi?
Significa che gli spazi di matrici sono da intendere a coefficienti reali anzichè complessi?
@claudia: Secondo me significa che deve trovare dei sistemi di equazioni lineari le cui soluzioni siano rappresentazioni dei sottospazi dati. Vero, crazy?
@Dissonance 
grazie per il tentativo
Io devo confessare di continuare a non capire..
cioè: abbiamo sti sottospazi di $M_2(CC)$, ne calcoliamo le dimensioni, l'intersezione, la somma diretta, quello che è.
Poi che significa "vediamoli su $RR$"? che devo rifare tutto l'esercizio considerandoli sottospazi di $M_2(RR)$? no, perchè ci sono delle matrici con elementi immaginari.. quindi non va bene.
Devo considerare U come il sottospazio delle matrici a coefficienti REALI che soddisfano quella relazione che coinvolge la matrice a coefficienti complessi? (cioè vedere $U \sub M_2(RR) \sub M_2(CC)$?
Davvero, non capisco che si intende
grazie per il tentativoIo devo confessare di continuare a non capire..
cioè: abbiamo sti sottospazi di $M_2(CC)$, ne calcoliamo le dimensioni, l'intersezione, la somma diretta, quello che è.
Poi che significa "vediamoli su $RR$"? che devo rifare tutto l'esercizio considerandoli sottospazi di $M_2(RR)$? no, perchè ci sono delle matrici con elementi immaginari.. quindi non va bene.
Devo considerare U come il sottospazio delle matrici a coefficienti REALI che soddisfano quella relazione che coinvolge la matrice a coefficienti complessi? (cioè vedere $U \sub M_2(RR) \sub M_2(CC)$?
Davvero, non capisco che si intende
"claudiamatica"::lol: Hai ragione, ho riletto per bene gli altri post e mi associo alla tua confessione: neanche io capisco che cosa si intende... I miei dubbi sono gli stessi tuoi. Specialmente "vediamoli su $RR$" è da snocciolare.
@Dissonance
Io devo confessare di continuare a non capire..
ok allora...la teoria ci insegna che la dimensione di un sottospazio su $CC$ è sempre la metà della dimensione dello stesso sottospazio però su $RR$...il testo dice se " $U$ e $W$ sono $CC$-sottospazi vettoriali di $Mat_2CC$ e se $U$ e $W$ sono $RR$-sottospazi vettoriali di $Mat_2CC$ e in entrambi i casi trovare l'intersezione e la somma"...
Vediamo se a sto giro ho capito:
Mettiamo che io ho il sottospazio, in $M_2(CC)$, $V= ( ( a ,b ),( 0 , b ) ) a,b in CC$ .
Ora questo ha dimensioe 2 su $CC$. Se gli scalari delle combinazioni lineari li dobbiamo prendere su $RR$, invece di prenderli su $CC$, i generatori in pratica si devono spezzare. Ovvero sarà lo spazio degli elementi: $ ( ( s ,t ),( 0 , t ) )+i((n,m),(0,m)) ; s,t,n,m in RR$ (che è a 4 parametri)
Così?
Mettiamo che io ho il sottospazio, in $M_2(CC)$, $V= ( ( a ,b ),( 0 , b ) ) a,b in CC$ .
Ora questo ha dimensioe 2 su $CC$. Se gli scalari delle combinazioni lineari li dobbiamo prendere su $RR$, invece di prenderli su $CC$, i generatori in pratica si devono spezzare. Ovvero sarà lo spazio degli elementi: $ ( ( s ,t ),( 0 , t ) )+i((n,m),(0,m)) ; s,t,n,m in RR$ (che è a 4 parametri)
Così?
perfetto!!!
La perplessità nasceva dal fatto che mi sembra che l'esercizio sia poco sensato, nel senso di davvero poco interessante.
Cioè bisogna soltanto "separare" la dipendenza dalla parte reale e da quella immaginaria.
In ogni caso.. invece di scrivere la matrice generica come $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ la scrivi $ ( ( a+ix , b+iy ),( c+iz , d+it ) ) $ . Prendi le relazioni che hai trovato su $CC$ e imponile per gli elementi della matrice scritti in questa forma.. ottieni due uguaglianze tra numeri complessi che danno luogo a quattro uguaglianze tra numeri reali.
Le prime due uguaglianze sono chiaramente $b=c$ e $y=z$.. ti lascio calcolare le altre due
Cioè bisogna soltanto "separare" la dipendenza dalla parte reale e da quella immaginaria.
In ogni caso.. invece di scrivere la matrice generica come $ ( ( a , b ),( c , d ) ) $ la scrivi $ ( ( a+ix , b+iy ),( c+iz , d+it ) ) $ . Prendi le relazioni che hai trovato su $CC$ e imponile per gli elementi della matrice scritti in questa forma.. ottieni due uguaglianze tra numeri complessi che danno luogo a quattro uguaglianze tra numeri reali.
Le prime due uguaglianze sono chiaramente $b=c$ e $y=z$.. ti lascio calcolare le altre due
ok...il problema è che $W$ è dato per generatori quindi la dimensione di $W$ può essere al massimo 3 non può raddoppiare...
Dissonance per favore vienimi in aiuto.
Crazyjunior io non capisco. Veramente, non capisco. Ma perchè dici che poichè $W$ è dato per generatori la sua dimensione (su $RR$) è al massimo 3?
Non avevamo stabilito che $W$ ha dimensione 2 su $CC$? E questo non implica che ha dimensione 4 su $RR$?
Vuoi i generatori?
Crazyjunior io non capisco. Veramente, non capisco. Ma perchè dici che poichè $W$ è dato per generatori la sua dimensione (su $RR$) è al massimo 3?
Non avevamo stabilito che $W$ ha dimensione 2 su $CC$? E questo non implica che ha dimensione 4 su $RR$?
Vuoi i generatori?
Secondo me, crazy, è meglio se riporti verbatim il testo dell'esercizio. Non si capisce proprio di che si tratta. Poi vatti a studiare un po' di algebra lineare, per esempio dagli appunti di Sergio, perché hai un po' di confusione sui concetti di "dimensione" e di "sottospazio" (credo). Soprattutto, perché continui a sottolineare "$W$ è dato per generatori"? Cosa c'entra la maniera di assegnare un sottospazio con le sue proprietà?
grazie
come che c'entra???? se $W$ è dato per "generatori" una sua base non può mai avere dimensione maggiore sia se siamo su $CC$ sia se siamo su $RR$...cmq più tardi vi farò un esempio di questo tipo di esercizi così vediamo se riusciamo ad uscirne fuori...ah dimenticavo...grazie della pazienza:D
cmq il testo dice che:
1)"Determinare i $CC$-sottospazi di $U nn W$ e $U + W$, la loro dimensione e una base di entrambi."
2)"Dopo aver osservato che $U e W$ sono altresì $RR$-sottospazi di $Mat_2(CC)$, determinare gli $RR$-sottospazi $U nn W$ e $U + W$."
voi cosa fareste??
Ps:ne ho fatti un casino di sto tipo di esercizi, ma quando mi si propone un sottospazio dato per generatori mi blocco...perchè secondo la teoria: la dimensione di questo sottospazio non raddoppia su $RR$ e quindi non riesco a trovare le relazioni...
1)"Determinare i $CC$-sottospazi di $U nn W$ e $U + W$, la loro dimensione e una base di entrambi."
2)"Dopo aver osservato che $U e W$ sono altresì $RR$-sottospazi di $Mat_2(CC)$, determinare gli $RR$-sottospazi $U nn W$ e $U + W$."
voi cosa fareste??
Ps:ne ho fatti un casino di sto tipo di esercizi, ma quando mi si propone un sottospazio dato per generatori mi blocco...perchè secondo la teoria: la dimensione di questo sottospazio non raddoppia su $RR$ e quindi non riesco a trovare le relazioni...
C'era una volta l'antico regno di $M_2(CC)$.
Il principe piano $P$ era stato trasformato da una strega cattiva in una retta complessa $ P = < ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) >$ ! E condannato per tutta la sua vita a essere dato per generatori. Tutti conoscevano il principe piano, però, e conoscevano i suoi sentimenti: $P ={ ( ( z , 0 ),( 0 , 0 ) ), z in CC }$.
[...]
E finalmente un bel giorno la fata immaginaria venne a salvare il principe piano! Con un bacio biettivo separò la sua parte reale da quella distorta del sortilegio:
$P ={ ( ( x+iy , 0 ),( 0 , 0 ) ), x,y in RR} $ = $<( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ), i ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) > .
E il principe piano tornò se stesso
Il principe piano $P$ era stato trasformato da una strega cattiva in una retta complessa $ P = < ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) >$ ! E condannato per tutta la sua vita a essere dato per generatori. Tutti conoscevano il principe piano, però, e conoscevano i suoi sentimenti: $P ={ ( ( z , 0 ),( 0 , 0 ) ), z in CC }$.
[...]
E finalmente un bel giorno la fata immaginaria venne a salvare il principe piano! Con un bacio biettivo separò la sua parte reale da quella distorta del sortilegio:
$P ={ ( ( x+iy , 0 ),( 0 , 0 ) ), x,y in RR} $ = $<( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ), i ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) > .
E il principe piano tornò se stesso
@claudiamatica: sei forte 
...così un giorno il padre del principe "piano"...il re "$W$alter"...era sotto uno strano incantesimo in quanto non riusciva più a fermarsi...ingrassava ingrassava ed continuava ad ingrassare sempre più...non riusciva più addirittura a sedersi sul suo trono ($dim_(W_RR)=6$)...fino a quando un bel giorno arrivò il mago "pigreco" e disse: "cosa sta succedendo qui??? tu sei un re e come tale devi stare sul tuo trono"...e con una delle sue potentissime magie tutto tornò alla normalità ($dim_(W_RR)=3$)...
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