Relazioni di $ W $ su $ RR $
Salve a tutti questo è il mio primo post...comunque volevo esporvi un mio dubbio riguardante il sottospazio somma ed intersezione sia su $ C $ sia su $ R $...ad esempio questo esercizio riesco a svolgerlo quasi tutto il mio problema sta nel fatto che non riesco a trovare le relazioni di un sottospazio (dato per generatori)...forse è meglio andare ai numeri...mi spiego meglio:
L'esercizio mi dà:
$ U={A in Mat_2(CC) | X^tAX=A, X= ( (0, i ), (-i, 0) ) } $
$ W=< ( (1, i ), (i, 0) ) , ( (i, 0), (0, -i) ), ( (0, i ), (i, 1) ) > $
adesso mi trovo le relazioni di $ U $ su $ CC $...
$ A={( (a, b), (c, d) ) | a,b,c,d in CC} $
$ X^t= ( (0,-i),(i,0) ) $
$X^tA= ( (0,-i),(i,0) ) ( (a, b), (c, d) )= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) $
$X^tAX= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) ( (0, i ), (-i, 0) )= ( (-d, c), (b, -a) ) $
$X^tAX=A rArr ( (-d, c), (b, -a) )=( (a, b), (c, d) ) rArr a=-d, c=b $
$U={A in Mat_2(CC) | a=-d, c=b} $
$U={( (-d, b), (b, d) ) | b,d in CC} $
$B_U= < ( (-1, 0), (0, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) ) >$
quindi la $ dim_(u_CC)=2 $
ora vado a trovarmi le relazioni di W:
la seconda matrice è linearmente dipendente dalle altre due se sommiamo la prima con la terza entrambe moltiplicate per i quindi possiamo eliminarla.
$\alpha( (1, i ), (i, 0) )+\beta( (0, i ), (i, 1) ) $
ottengo:
$( (\alpha, \alphai+\betai ), (\alphai+\betai, \beta) )$
e mi ricavo le relazioni di W su CC ovvero:
$W={A in Mat_2(CC) |b=c, b=ai+di}$
$W={( (a, ai+di ), (ai+di, d) )| a,d in CC}$
$B_W=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) )>$
la $dim_(w_CC) = 2$
vado a fare il sottospazio intersezione:
$U nn W=\{(a=-d),(c=b),(b=c),(b=ai+di):}$
da cui mi ricavo che $c=b=0, a=-d$ quindi:
$U nn W={A in Mat_2(CC)| c=b=0, a=-d}$
$U nn W={( (-d, 0 ), (0, d) ) | d in CC}$
$B_(u nn w)=<( (-1, 0 ), (0, 1) )>$
la $dim_((u nn w)_CC) = 1$
Sottospazio somma:
applico la relazione di grassmann e dico che la $dim_((u+w)_CC)=2+2-1=3$
$B_(u+w)=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) )>$
Ora l'esercizio vuole il sottospazio intersezione e somma su $RR$ quindi....
mi trovo le relazioni di $U$ su $RR$:
definisco: $a=\alpha+i\beta, b=\gamma+i\delta, c=\epsilon+i\zeta, d=\eta+i\theta$
$U={A in Mat_2(CC) | \alpha+i\beta=-\eta-i\theta, \epsilon+i\zeta=\gamma+i\delta}$
$U={( (-\eta-i\theta, \gamma+i\delta ), (\gamma+i\delta, \eta+i\theta) ) | \eta,\theta,\gamma,\delta in RR}$
$B_(u_RR)=<( (-1, 0 ), (0, 1) ),( (-i, 0 ), (0, i) ), ( (0, 1 ), (1, 0) ), ( (0, i), (i, 0) )>$
quindi la $ dim_(u_RR)=4 $ che è il doppio di quella su $CC$
e adesso vengono i problemi ovvero quando vado a fare le relazioni di $W$ su $RR$...allora io so che la dimensione di $W$ essendo dato per generatori non può aumentare quindi la dimensione di $W$ su $RR$ è 3 perchè la relazione precedente che lega la seconda matrice con le altre due non è più valida perchè siamo sui reali...adesso come faccio per trovare le relazioni di $W$ su $RR$???
ho provato a fare cosi:
$\alpha( (1, i ), (i, 0) ) +\beta( (i, 0), (0, -i) ) +\gamma( (0, i ), (i, 1) )$
mi ricavo che $b=c , i(a+d)=b$ però poi mi blocco perchè la dimensione è 2 non 3...perchè???
L'esercizio mi dà:
$ U={A in Mat_2(CC) | X^tAX=A, X= ( (0, i ), (-i, 0) ) } $
$ W=< ( (1, i ), (i, 0) ) , ( (i, 0), (0, -i) ), ( (0, i ), (i, 1) ) > $
adesso mi trovo le relazioni di $ U $ su $ CC $...
$ A={( (a, b), (c, d) ) | a,b,c,d in CC} $
$ X^t= ( (0,-i),(i,0) ) $
$X^tA= ( (0,-i),(i,0) ) ( (a, b), (c, d) )= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) $
$X^tAX= ( (-ci, -di), (ai, bi) ) ( (0, i ), (-i, 0) )= ( (-d, c), (b, -a) ) $
$X^tAX=A rArr ( (-d, c), (b, -a) )=( (a, b), (c, d) ) rArr a=-d, c=b $
$U={A in Mat_2(CC) | a=-d, c=b} $
$U={( (-d, b), (b, d) ) | b,d in CC} $
$B_U= < ( (-1, 0), (0, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) ) >$
quindi la $ dim_(u_CC)=2 $
ora vado a trovarmi le relazioni di W:
la seconda matrice è linearmente dipendente dalle altre due se sommiamo la prima con la terza entrambe moltiplicate per i quindi possiamo eliminarla.
$\alpha( (1, i ), (i, 0) )+\beta( (0, i ), (i, 1) ) $
ottengo:
$( (\alpha, \alphai+\betai ), (\alphai+\betai, \beta) )$
e mi ricavo le relazioni di W su CC ovvero:
$W={A in Mat_2(CC) |b=c, b=ai+di}$
$W={( (a, ai+di ), (ai+di, d) )| a,d in CC}$
$B_W=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) )>$
la $dim_(w_CC) = 2$
vado a fare il sottospazio intersezione:
$U nn W=\{(a=-d),(c=b),(b=c),(b=ai+di):}$
da cui mi ricavo che $c=b=0, a=-d$ quindi:
$U nn W={A in Mat_2(CC)| c=b=0, a=-d}$
$U nn W={( (-d, 0 ), (0, d) ) | d in CC}$
$B_(u nn w)=<( (-1, 0 ), (0, 1) )>$
la $dim_((u nn w)_CC) = 1$
Sottospazio somma:
applico la relazione di grassmann e dico che la $dim_((u+w)_CC)=2+2-1=3$
$B_(u+w)=<( (1, i ), (i, 0) ), ( (0, i ), (i, 1) ), ( (0, 1), (1, 0) )>$
Ora l'esercizio vuole il sottospazio intersezione e somma su $RR$ quindi....
mi trovo le relazioni di $U$ su $RR$:
definisco: $a=\alpha+i\beta, b=\gamma+i\delta, c=\epsilon+i\zeta, d=\eta+i\theta$
$U={A in Mat_2(CC) | \alpha+i\beta=-\eta-i\theta, \epsilon+i\zeta=\gamma+i\delta}$
$U={( (-\eta-i\theta, \gamma+i\delta ), (\gamma+i\delta, \eta+i\theta) ) | \eta,\theta,\gamma,\delta in RR}$
$B_(u_RR)=<( (-1, 0 ), (0, 1) ),( (-i, 0 ), (0, i) ), ( (0, 1 ), (1, 0) ), ( (0, i), (i, 0) )>$
quindi la $ dim_(u_RR)=4 $ che è il doppio di quella su $CC$
e adesso vengono i problemi ovvero quando vado a fare le relazioni di $W$ su $RR$...allora io so che la dimensione di $W$ essendo dato per generatori non può aumentare quindi la dimensione di $W$ su $RR$ è 3 perchè la relazione precedente che lega la seconda matrice con le altre due non è più valida perchè siamo sui reali...adesso come faccio per trovare le relazioni di $W$ su $RR$???
ho provato a fare cosi:
$\alpha( (1, i ), (i, 0) ) +\beta( (i, 0), (0, -i) ) +\gamma( (0, i ), (i, 1) )$
mi ricavo che $b=c , i(a+d)=b$ però poi mi blocco perchè la dimensione è 2 non 3...perchè???
Risposte
il magico regno di $M_2(CC)$ su $RR$ ha dimensione 8, quindi un trono grande abbastanza da contenere il sederone 6-dimensionale di un re c'è, volendo.
ankio la pensavo così ma quando ho fatto l'esame di geometria la prof mi ha detto che era sbagliato e che a dimensione di $W$ non può aumentare e mi ha dato 20...me lo sono fatto spiegare ma me lo sono dimenticato e speravo in un vostro aiuto...
Mi fai un favore? potresti formulare l'enunciato che credi valido (quindi cominciando con Sia W un sottospazio fatto così così bla bla bla...) nella maniera più rigorosa possibile? Però rigorosa, formale, con i simboli e tutte le parole giuste.
Così finalmente capiamo che cosa intendi. La mia opinione è che stai facendo confusione, però può essere anche che ci stiamo sbagliando noi.
Così finalmente capiamo che cosa intendi. La mia opinione è che stai facendo confusione, però può essere anche che ci stiamo sbagliando noi.
non trovo niente...e dmn ho l'altro appello
Allora.. io non so cosa è successo con il prof lo scorso appello, e non so com'era il testo dell'esercizio.
Facciamo così, apri un'altro post (che ormai questo è diventato una gag) con un altro esercizio simile, se vuoi, e lo facciamo insieme così ci chiariamo le idee.
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