Relazioni di equivalenza

[mrmoon]

Ciao
ho cominciato oggi a studiare il capitolo relativo alle relazioni di equivalenza e mi sono già bloccato perché non riesco a capire bene come procedere.
Ho provato a fare due semplicissimi esercizi di cui ho la soluzione ma non mi tornano i conti.

1. In N è definita xRy se x=y^2

So che non è una relazione di equivalenza, ma volendo dimostrare se soddisfa le tre proprietà: riflessiva,simmetrica e transitiva come dovei procedere?

2.Per ogni relazione binaria E su A = {0; 1; 2; 3; 4} descritta nel seguito, stabilire se E e una relazione d'equivalenza.
E = {(0; 0)(0; 1); (1; 0); (1; 1)};

Soluzione: SI ed ha un'unica classe d'equivalenza.

Anche per questo esercizio ho lo stesso problema, ad esempio non riesco a capire come dimostrare le proprietà. Ad esempio la riflessiva perché è presente la coppia (0,0) e (1,0)?
E perché la classe è unica? Dalla definizione del libro non riesco a capire, forse perché sono presenti tutte le coppie possibili?

Grazie in anticipo a chiunque possa darmi una mano (ho l'esame tra 20 giorni )

Ale

[kobeilprofeta]

1)
provo la riflessiva. è vero che $AA x in NN$ ho che $xRx$, cioè $x=x^2$? chiaramente no, perchè ad esempio $3!=9$

[kobeilprofeta]

2)
(0,0) mi dice che 0R0
(0,1) mi dice che 0R1
etc...
Ora guardo se ogni elemento è in relazione con sè stesso: in realtà no, perchè mancano le coppie (2,2),(3,3)e(4,4).
Guardo quella transitiva: ad esempio ci sono (0,1) e (1,0): devo vedere se c'è (0,0): c'è. ok peró questo dovrei farlo con tutte le coppie.
ora quella simmetrica: se c'è la coppia (a,b) deve esserci quella (b,a) e nel nostro caso è ok

ps: quella transitiva si puó dire cosí: se ci sono le coppie (a,b) e (b,c) deve esserci anche la coppia (a,c)... per ogni a,b,c.

[mrmoon]

grazie 1000 kobeilprofeta
credo di avere capito come verificare le proprietà ma non mi è ancora chiaro, in base alla definizione di Classe di equivalenza, come affermare se una classe è unica.
Nell'esempio sopra la classe di equivalenza dovrebbe essere unica perché? Hai anche un esempio in cui la classe di equivalenza non è unica?

grazie ancora

[kobeilprofeta]

Le classi d'equivalenza sono elementi dell'insieme quoziente: l'insieme quozientato sulla relazione di equivalenza. so che non è un concetto facilissimo, quindi ti faccio questo esempio:
considera l'insieme i cui elementi sono gli alunni di una scuola. definisci questa relazione d'equivalenza (verifica come esercizio che questa è veramente una rel d'eq): aRb se a è in classe con b.
ora l'insieme quoziente divide gli alunni in classi. questo si puó fare per le proprietà della rel d'eq. ora una classe d'equivalenza nel nostro esempio è una classe dell'istituto.

ora io ti do come insieme di partenza un insieme formato dai giocatori della Juventus. definisco una relazione in questo modo: aRb se a e b fanno lo stesso sport.
prova ora a contare le classi d'eq: è una sola! perchè stanno tutti nella classe "calcio".
se invece io ti avessi dato come insieme l'insieme di tutti gli sportivi italiani, allora le classi d'eq sarebbero molte (calcio, pallavolo, etc..)


ora torniamo a noi, al tuo esercizio, parte 2)
vedo che 0 è in classe con sè stesso (e grazie al c*) e che 0 è in classe con 1.
... pensa tu... quante sono le classi d'equivalenza?

[mrmoon]

ciao kobeilprofeta
ottima la scelta della juve come esempio
quindi in pratica devo contare gli elementi che formano una relazione di equivalenza.
Nel mio esempio avevo 0R1 quindi avevo una solo coppia di equivalenza {0,1}.

in un altro empio invece:
E = {(0; 0)(0; 1); (1; 0); (1; 1); (1; 2)(2; 1)(2; 2); (0; 2); (2; 0); (3; 3); (4; 4))}

ho 0R1, 1R2, 0R2 3R3 e 4R4

essendo 1,2,3 in relazione tra di loro devo considerare in un'unica classe di equivalenza?
quindi {1,2,3} ,{3}, {4}

è corretto il mio pensiero?

grazie ancora

[kobeilprofeta]

sí, anche se probabilmente al posto di 1,2,3 intendevi 0,1,2...

[ot]In realtà non sono juventino... ho solo immaginato che lo fossi tu [/ot]

ciao