Relazioni

[ADJEIWIQ]

La professoressa di algebra lineare ha fatto oggi una digressione sulle relazioni, in particolare su quelle di equivalenza, per poi applicarla nello spazio dei vettori, definendo l'insieme dei vettori liberi
Spero di non aver scritto assurdità per adesso.
Ciò che mi ha lasciato perplesso sta nella differenza tra "classe di equivalenza":
elementi appartenenti ad un certo insieme U, accomunati da una relazione di equivalenza con un certo elemento v di U
e "insieme quoziente":
insieme delle classi di equivalenza rispetto ad una relazione di equivalenza.
Non riesco a figurarmi "insiemisticamente parlando" la differenza. Il primo è costituito dagli elementi w appartenenti a U in relazione con uno stesso elemento v. Ma l'insieme quoziente cosa rappresenta? Dato che è definito rispetto alla stessa relazione.
Grazie a tutti per i chiarimenti che mi darete

[anto_zoolander]

Ciao!

L'insieme quoziente ha delle belle proprietà perchè se $A$ è un insieme non vuoto e $R$ una relazione di equivalenza su esso allora il quoziente $A/R$ ha le seguenti proprietà

$A=bigcup_(a in A)[a]$

$[a]capne emptyset <=> [a]=$

ossia forma una partizione di $A$.
Quindi puoi visualizzarlo proprio come un insieme che divide $A$ in alcune sue parti.

In geometria puoi vedere quella relazione come un insieme di piani paralleli che ti restituisce tutto lo spazio tridimensionale e penso sia una cosa stupenda.

la relazione che ti ha dato la prof. dovrebbe essere $R:={(v,w) in VtimesV: v-w in W}$ dove $V$ è un $k$ spazio e $W$ un sottospazio vettoriale.

[ADJEIWIQ]

Intanto ti ringrazio per la risposta e per la chiarezza.
Se l'insieme quoziente è visualizzabile come un'insieme di piani paralleli che mi permette di "costruire" uno spazio tridimensionale, è corretto dire che gli elementi della classe di equivalenza sono dei punti su tali piani?

Col fatto che che le due costruzioni sono collegate, i punti equivalenti di una certa classe sono proprio quelli che mi costruiscono tale piano e quindi la partizione della quale mi parlavi?

E' davvero un piacere poter chiedere a chi ne sa molto più di me. A volte trovo difficile visualizzare queste definizioni in algebra lineare, mi posso dire di conoscerle solo fin quando non provo a visualizzarle: spesso è la' che inciampo.

[killing_buddha]

Ciò che mi ha lasciato perplesso sta nella differenza tra "classe di equivalenza":
elementi appartenenti ad un certo insieme U, accomunati da una relazione di equivalenza con un certo elemento v di U
e "insieme quoziente":
insieme delle classi di equivalenza rispetto ad una relazione di equivalenza.
Non riesco a figurarmi "insiemisticamente parlando" la differenza.

Se \(\sim\) è una relazione di equivalenza su un insieme $A$, una classe di equivalenza $[a]$ è un elemento dell'insieme quoziente \(A/_{\!\sim}\), che raccoglie tutte tali classi.

Molto spesso, quando $A$ ha ulteriore struttura (è, ad esempio, uno spazio vettoriale) più che una generica relazione di equivalenza ti interessa una congruenza, ossia una relazione di equivalenza che è non solo un sottoinsieme di $A\times A$, ma anche una sua sottostruttura. In pratica, questo significa che quando $(x,y)\in R\subseteq A\times A$, e (mettiamo) $A$ è uno spazio vettoriale, sicché $A\times A\cong A\oplus A$, $R$ è tale che $(x+v,y+v)$ sta ancora in $R$, e altrettanto fa $(ax,ay)$.