Relazione tra sistema di coordinate e basi di uno spazio vettoriale.

[Pasquale 90]

Buongiorno, ho un problema sulla dimostrazione del presente teorema:

In tal caso
Definizione:
Dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, una successione di applicazione $psi_1, psi_2, ... , psi_n :V to K$ si dice un sistema di coordinate se l'applicazione

$F:V to K^n, \qquad v to (psi_1(v),...,psi_n(n))^T$

è un isomorfismo lineare.

Teorema:
Sia $V$ spazio vettoriale di dimensione finita $n$. Per ogni base $v_1, ... , v_n$ di $V$ esiste un unico sistema di coordinate $psi_1,...,psi_n$ per cui

\(\displaystyle \psi_i(v_j)=\begin{cases} 1, & \mbox{se }i=j \\ 0, & \mbox{se }i\ne j \end{cases} .\)

Viceversa per ogni sistema di coordinate $psi_1,...,psi_n$ esiste un'unica base $v_1,...,v_n.$

Dimostrazione:
Se $v_1,...,v_n$ base di $V$, ogni vettore di $V$ si scrive in un unico modo come $a_1v_1+...a_nv_n$ con $a_i in K$ e $i=1,...,n$. Basta considerare la seguente applicazione $psi_i(a_1v_1+...a_nv_n)=a_i$ per ogni $i.$
Viceversa, sia $psi_1,...,psi_n$ sistema di coordinate, basta considerare l'immagine della base canonica $K^n$ mediante l'inverso dell'isomorfismo lineare

$F:V to K^n, \qquad v \ to \ (psi_1(v),...,psi_n(v))^T.$

Fine.

Il mio problema è che non riesco a capire come sia fatta l'inversa $F'$ di $F$, perché non ho ben capito come agisce $F$, comunque, penso che debba agire nella seguente maniera:
sia $v in V$ mediante $F$ ottengo le coordinate di $v$ rispetto ad una base di $V$.

Ciao a presto.

[j18eos]

La (così detta) "azione di" \(\displaystyle F\) ti è chiara!

Per trovare \(\displaystyle F^{-1}\) devi comunque fissare la base \(\displaystyle\mathcal{B}\) di \(\displaystyle\mathbb{V}\). No?

P.S.: che enunziato pesante!

[Pasquale 90]

"j18eos":La (così detta) "azione di" \( \displaystyle F \) ti è chiara!

Per trovare \( \displaystyle F^{-1} \) devi comunque fissare la base \( \displaystyle\mathcal{B} \) di \( \displaystyle\mathbb{V} \). No?

menomale j18eos , comunque si, quindi sia \( \displaystyle\mathcal{B} \) una base di $V$ con \( \displaystyle\mathcal{B}= \)${v_1,...,v_n}.$
Definisco l'inversa di $F$ come

$F^(-1) : (x_1,...,x_n)^T in$ \( \displaystyle\mathbb{K^n} \) $to x_1v_1+...+x_nv_n in V.$

Se l'inversa va bene, dovrebbe soddisfare anche la richiesta dell'enunciato , mi pare di si, prendo un vettore della base canonica di \( \displaystyle\mathbb{K^n} \)

$e_1=(1,0,...,0)^T to F^(-1)(e_1)=1v_1+...+0v_n=v_1$

Dall'arbitrarietà si ha la tesi. Va bene ?

[Pasquale 90]

"j18eos":

P.S.: che enunziato pesante!

Lo devo chiamare Teorema ?

[j18eos]

Mi trovo su tutto!

P.S.: è proprio pesante l'enunziato di quel teorema...

[Pasquale 90]

Grazie di tutto j18eos !
Comunque penso di aver capito cosa vuoi dirmi con

"j18eos":P.S.: è proprio pesante l'enunziato di quel teorema...

l'ho modificato.