Relazione tra matrici e applicazioni lineari?

[donovan-votailprof]

Salve a tutti.

Questo (oltre alla presentazione) è il mio primo messaggio qui nel forum.
Ho notato che qua, a differenza di altri forum, le domande e le loro risposte vengono affrontate seriamente.

Il mio problema è semplice: nonostante abbia letto e studiato per ben due anni questa materia, mi ritrovo a non afferrare alcuni concetti: in particolare il problema si presenta in occasione di un orale, perché con gli esercizi, per quanto non riesca a capire la teoria, me la cavo piuttosto bene.

L'argomento, come leggete nell'oggetto, tratta di matrici e applicazioni lineari. In realtà so cos'è una matrice, e so anche cos'è una applicazione lineare. Quello che non capisco, in effetti, è la loro relazione; in particolare mi riferisco alla diagonalizzazione.

Per questo Gradirei delle risposte che facciano anche riferimento alla diagonalizzazione, in algebra, di una matrice e di una applicazione lineare.
Le domanda potrebbe essere scomposta nelle seguenti domande:

1) Qual è la relazione tra una applicazione lineare e una matrice?
2) Qual è il senso di una matrice, o meglio, che relazione c'è tra dominio, codominio della matrice e la matrice stessa (eventualmente legata a una applicazione lineare)?
3) Cosa significa quando una matrice è associata a una applicazione lineare?
4) Cosa significa diagonalizzare una matrice? E diagonalizzare una applicazione lineare è la stessa cosa?
5) Qual è la relazione tra gli autovettori, una matrice, e una applicazione lineare?

Queste sono le linee guida per la risposta, ma sentitevi liberi di usare qualsiasi argomentazione e di divagare su argomenti che non incluso nella domanda.

Ho qualche libro che tratta l'argomento, ma ho bisogno di un approccio teorico facile da afferrare. Non sono in grado di costruire un discorso sull'argomento, perché mi mancano dei collegamenti fondamentali, e non saprei in alcun modo riprodurre un esempio (seppur semplice).

Grazie a tutti

[Paolo902]

Ciao, benvenuto tra noi. Spero tu possa trovarti bene, ti auguro buona permanenza.

Venendo alla tua domanda, be', è una cosa certo molto interessante. Cominciamo a vedere i primi punti, poi man mano approfondiremo il discorso.

"Beto":
1) Qual è la relazione tra una applicazione lineare e una matrice?

Sono la stessa cosa.
Non è una risposta ad effetto, non voglio stupirti, quanto affermo è vero. In effetti, dare una applicazione lineare (tra spazi vettoriali) equivale a dare una matrice: mi segui? Cioè, se tu mi dai la matrice io posso ricavarmi l'applicazione lineare; se tu mi dai l'applicazione io posso trovarmi la matrice.

[size=75]A voler essere rigorosi, ciò si esprime dicendo che lo spazio delle matrici $ m times n $ è isomorfo allo spazio delle applicazioni lineari $V_n to V_m$, essendo $V_i$ uno spazio di dimensione $i$. Per ora, però, possiamo lasciar da parte questo formalismo. [/size]

"Beto":
2) Qual è il senso di una matrice, o meglio, che relazione c'è tra dominio, codominio della matrice e la matrice stessa (eventualmente legata a una applicazione lineare)?
3) Cosa significa quando una matrice è associata a una applicazione lineare?

Uhm, dovresti chiarire che cosa intendi per dominio e codominio di una matrice... Però, senti, tu dici che con gli esercizi te la cavi bene, giusto? Quindi ti chiedo: sei capace, data un'applicazione lineare, di scrivere la matrice ad essa associata (una volta fissate le basi nel dominio e nel codominio)? Hai mai fatto questa cosa? Ah, ti consiglio anche di dare uno sguardo al topic "Algebra lineare for dummies" di Sergio, lo trovi in alto in questa sezione. E' davvero ben fatto e potrebbe risultarti utile.

Quanto alla diagonalizzazione, ne parliamo dopo.

[donovan-votailprof]

"Paolo90":Ciao, benvenuto tra noi. Spero tu possa trovarti bene, ti auguro buona permanenza.

Grazie.

"Paolo90":Sono la stessa cosa.
Non è una risposta ad effetto, non voglio stupirti, quanto affermo è vero. In effetti, dare una applicazione lineare (tra spazi vettoriali) equivale a dare una matrice: mi segui? Cioè, se tu mi dai la matrice io posso ricavarmi l'applicazione lineare; se tu mi dai l'applicazione io posso trovarmi la matrice.

[size=75]A voler essere rigorosi, ciò si esprime dicendo che lo spazio delle matrici $ m times n $ è isomorfo allo spazio delle applicazioni lineari $V_n to V_m$, essendo $V_i$ uno spazio di dimensione $i$. Per ora, però, possiamo lasciar da parte questo formalismo. [/size]

Più che interessante...

"Paolo90":
Uhm, dovresti chiarire che cosa intendi per dominio e codominio di una matrice... Però, senti, tu dici che con gli esercizi te la cavi bene, giusto? Quindi ti chiedo: sei capace, data un'applicazione lineare, di scrivere la matrice ad essa associata (una volta fissate le basi nel dominio e nel codominio)? Hai mai fatto questa cosa? Ah, ti consiglio anche di dare uno sguardo al topic "Algebra lineare for dummies" di Sergio, lo trovi in alto in questa sezione. E' davvero ben fatto e potrebbe risultarti utile.

Chissà, forse parli proprio della domanda che ti ho posto. In effetti, durante le lezioni, talvolta abbiamo citato una matrice specificando anche due elementi che purtroppo non so definire più precisamente: $K^n$ e $K^m$. Quello che io ho pensato e che (quindi ) potrebbe essere sbagliato, è che $K^j$ sarebbe uno spazio vettoriale con valori nel campo $K$ e $j$ righe., o meglio lo spazio dei vettori con $j$ coordinate.

Per quanto riguarda la tua domanda, sì: so che se $T : V_n to W_m$ è una applicazione lineare, e se ho $B$ base di $V$ e $B'$ base di $W$ allora la matrice associata avrà, nella $i$-esima colonna, le coordinate del vettore $T(v_i)$ rispetto alla base $B'$. Inoltre $v_i$, con $i$ che varia da $1$ a $n$, rappresenta l'elemento generico della base $B$. Questo so farlo, sì.

Probabilmente, quando ho sentito parlare di dominio e codominio di una matrice, si parlava di basi dei due spazi vettoriali grazie alle quali è possibile costruire la matrice associata alla applicazione lineare.

"Paolo90":Quanto alla diagonalizzazione, ne parliamo dopo.

Grazie per l'aiuto già immenso che mi hai dato. Attendo con ansia.
Saluti

[Paolo902]

"Beto":
Chissà, forse parli proprio della domanda che ti ho posto. In effetti, durante le lezioni, talvolta abbiamo citato una matrice specificando anche due elementi che purtroppo non so definire più precisamente: $K^n$ e $K^m$. Quello che io ho pensato e che (quindi ) potrebbe essere sbagliato, è che $K^j$ sarebbe uno spazio vettoriale con valori nel campo $K$ e $j$ righe., o meglio lo spazio dei vettori con $j$ coordinate.

Per quanto riguarda la tua domanda, sì: so che se $T : V_n to W_m$ è una applicazione lineare, e se ho $B$ base di $V$ e $B'$ base di $W$ allora la matrice associata avrà, nella $i$-esima colonna, le coordinate del vettore $T(v_i)$ rispetto alla base $B'$. Inoltre $v_i$, con $i$ che varia da $1$ a $n$, rappresenta l'elemento generico della base $B$. Questo so farlo, sì.

Bene, benissimo; allora dovrebbe essere evidente adesso per te il legame tra applicazioni lineari e matrici. In poche parole, uno dei tanti significati delle matrici è proprio questo: rappresentano movimenti dello spazio. Movimenti - bada bene - sufficientemente belli, puliti o, per dirla in matematichese, lineari appunto.

Tutto chiaro fin qui?

Quanto alla diagonalizzazione le cose stanno più o meno così. Sai che cos'è una matrice diagonale, vero? Ci vuole un attimo per capire che le matrici diagonali sono una tra le cose più belle che ti possano capitare: il prodotto commuta, il determinante è il semplice prodotto degli elementi sulla diagonale (quindi vedi ad occhio se è singolare) etc. Insomma hanno un mucchio di proprietà interessanti che le accomuna parecchio con i numeri o meglio con le n-uple di numeri (reali o complessi, insomma gli ordinari vettori).

Allora è evidentemente lecito porsi la seguente questione: tu hai uno spazio vettoriale $V$ e un'applicazione lineare $f: V to V$ (una roba del genere si chiama endomorfismo). Sia $A$ la matrice associata a tale applicazione rispetto a due basi fissate nei due spazi (nota che $A$ è ... ). Uno si può chiedere: esiste una base di $V$ tale per cui la matrice associata a $f$ (rispetto a tale base) sia diagonale?
Nota che la domanda è perfettamente sensata sia dal punto di vista matematico, sia dal punto di vista pratico (ricorda le belle proprietà delle matrici diagonali di cui si parlava sopra).

La risposta non è univoca: a volte esiste, a volte no. Nel caso in cui la base esista, si dice che l'endomorfismo è semplice (o diagonalizzabile) e la base è una base di autovettori. In caso contrario, se non esiste la cosa finisce lì e uno passa a farsi altre domande.

Questo è quanto, diciamo; sono stato molto generico e superficiale, ma ci tenevo a darti un quadro generale. Naturalmente, se vuoi si può approfondire con maggior rigore la questione, ma per fare ciò è indispensabile che tu ti riveda almeno le definizioni e le prime proprietà di endomorfismi, autovalori, autovettori, autospazi etc...

"Beto":Grazie per l'aiuto già immenso che mi hai dato.
Saluti

Prego, figurati; è un piacere.

P.S. Per curiosità, che cosa studi (se posso chiedere)?

[donovan-votailprof]

È proprio questo che cercavo: una spiegazione diversa. I libri di testo sono molto precisi a riguardo, tuttavia avevo bisogno di un punto di vista diverso; credo di avere finalmente afferrato i collegamenti che mi mancavano.

Insomma, è un quadro generale che mi ha aiutato molto.
Puoi chiedere: studio Informatica.

Grazie ancora.

Una ultima cosa: è davvero un bel sito, mi dispiace non essermene accorto prima d'ora. Non mi limiterò a questo thread; o, in altre parole, non fuggirò ora che ho risolto il mio problema.

Saluti.

[Paolo902]

Bene, sono molto contento.
Sarà un piacere continuare ad averti fra noi.

Buon proseguimento.