Relazione tra interno e chiusura
Salve a tutti. Sapete aiutarmi a dimostrare questa uguaglianza?
$\bar{X-Y}=X-Y^°$ (interno di Y)
Le mie definizioni sono queste:
- L'interno di Y è l'unione degli aperti contenuti in Y (il più grande aperto quindi)
-La chiusura di Y è l'intersezione dei soprainsiemi chiusi di Y (il più piccolo chiuso contenente Y)
-Lemma: $x in \bar{Y} hArr AA U$ intorno di x,$ U nn Y !=0$
Mi servirebbe qualcosa che lega l'interno con la frontiera per dimostrarlo..ma tra le definizioni e i lemma fatti a lezione non trovo nulla! Altrimenti come faccio?
Dimostriamolo con la doppia inclusione:
1. $\bar{X-Y} sube X-Y^°$
2. $X-Y^° sube \bar{X-Y}$
1. $ x in \bar{X-Y} => EE U(x) t.c. U nn (X-Y)!=0$
Ed ora? Dire che quindi $U nn Y = 0$ mi sembra sbagliato...come proseguo?
Grazie per la risposta
P.s. non so fare l'insieme vuoto e quindi ho scritto $0$ al suo posto!
$\bar{X-Y}=X-Y^°$ (interno di Y)
Le mie definizioni sono queste:
- L'interno di Y è l'unione degli aperti contenuti in Y (il più grande aperto quindi)
-La chiusura di Y è l'intersezione dei soprainsiemi chiusi di Y (il più piccolo chiuso contenente Y)
-Lemma: $x in \bar{Y} hArr AA U$ intorno di x,$ U nn Y !=0$
Mi servirebbe qualcosa che lega l'interno con la frontiera per dimostrarlo..ma tra le definizioni e i lemma fatti a lezione non trovo nulla! Altrimenti come faccio?
Dimostriamolo con la doppia inclusione:
1. $\bar{X-Y} sube X-Y^°$
2. $X-Y^° sube \bar{X-Y}$
1. $ x in \bar{X-Y} => EE U(x) t.c. U nn (X-Y)!=0$
Ed ora? Dire che quindi $U nn Y = 0$ mi sembra sbagliato...come proseguo?
Grazie per la risposta
P.s. non so fare l'insieme vuoto e quindi ho scritto $0$ al suo posto!
Risposte
Ho risolto..grazie lo stesso. Posto la soluzione perchè magari in futuro potrà servire a qualcuno.
1. $X-Y sube X-Y^° => \bar{X-Y} sube \bar{X-Y^°}=X-Y^°$ perchè l'insieme è chiuso e la chiusura di un chiuso è l'insieme stesso!
2. $x in X-Y^°$. Supponiamo per assurdo che $x !in \bar{X-Y} => AA U_x$ intorno che contiene x $U_x nn (X-Y)=0 => U_x sube Y$. Ma $U_x$ è intorno di x e quindi $EE A$ aperto che contiene x t.c. $A sube U_x sube Y^°$ ma ciò è assurdo perchè contraddice le ipotesi!
1. $X-Y sube X-Y^° => \bar{X-Y} sube \bar{X-Y^°}=X-Y^°$ perchè l'insieme è chiuso e la chiusura di un chiuso è l'insieme stesso!
2. $x in X-Y^°$. Supponiamo per assurdo che $x !in \bar{X-Y} => AA U_x$ intorno che contiene x $U_x nn (X-Y)=0 => U_x sube Y$. Ma $U_x$ è intorno di x e quindi $EE A$ aperto che contiene x t.c. $A sube U_x sube Y^°$ ma ciò è assurdo perchè contraddice le ipotesi!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo