Relazione tra gradi di libertà e piano\retta\punto

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Rileggendo i miei appunti dopo un po' di mesi non riesco a capire un concetto.
Si tratta di un esercizio in cui si chiede di trovare l'insieme ortogonale a dei vettori dati.

In un primo punto dato il vettore $ v=(1,2,3)$ ovviamente l'insieme ortogonale a v è dato dai vettori il cui prodotto scalare con v faccia 0, e quindi veniva fuori l'equazione $x + 2y +3z = 0$, e quindi (per lo meno così c'è scritto) " dato che questa equazione ha due gradi di libertà fissata una delle tre variabili,allora l'equazione rappresenta un piano."

Nel secondo punto i vettori che costituiscono l'insieme del quale trovare i vettori ad esso ortogonali sono due: $w=(0,0,1)$ e v lo stesso di prima.Questa volta dal sistema venivano fuori le equazioni $x + 2y +3z = 0$ e $z=0$ ed essendoci questa volta un solo grado di libertà rappresenta (non so chi sia il soggetto) una retta

Innanzitutto credo che possa esserci anche qualche sbaglio in quello che ho scritto,ma comunque sia non riesco a capire perchè,come ci si arrivi e se sia possibile anche una spiegazione intuitiva\visuale

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Conosci la definizione di superficie e di retta nello spazio? Sta tutto lì!