Relazione molteplicita algebrica e geometrica
Salve ragazzi dopo domani ho l'esame di algebra e purtroppo non ho capito la maggior parte del teorema(eccetto i primi righi) che dice che la molteplicità geometrica è minore o uguale di quella algebrica. Potreste spiegarmelo passo per passo?? Vi posto la foto del teorema che c'è nel mio libro. Grazie in anticipo
Risposte
allora suppondendo $ f\in End(RR^n) $
saprai benissimo che la molteplicità algebrica (io la indico con $m_a(\lambda)$) di un autovalore $\lambda$ indica quante volte l'autovalore è soluzione dell'equazione caratteristica $p(\lambda)=0$
La molteplicità geometrica $m_(g) (\lambda)$ di $\lambda$ è la dimensione dell'autospazio $V_(\lambda)$ associato all'autovalore.
ti ricordo l'autospazio si trova $ V_(\lambda_0)=Ker(A-\lambda_0 I_n) $
in alternativa ti puoi calcolare
la molteplicità geometrica in questo modo $ m_(g)(\lambda)=dim RR^n-rank(A-\lambda_0I_n) $
poi il mio prof a lezione ci aveva detto
la molteplicità algebrica e geometrica sono legate dalla relazione del seguente teorema
Sia $\lambda_0$ un autovalore di un endomorfismo $f\in End(RR^n)$.
Allora vale la seguente diseguaglianza $ m_a(\lambda_0)\geq m_(g) (\lambda_0) $
nel caso in cui la molteplicità algebrica sia uguale alla molteplicità geometrica, allora la matrice è diagonalizzabile
poi bé ci ha detto meglio il teorema per la diagonalizzazione.
Ma cos'è che proprio non capisci del teorema dove dice che la molteplicità algebrica è sempre maggiore o uguale della sua molteplicità geometrica?
saprai benissimo che la molteplicità algebrica (io la indico con $m_a(\lambda)$) di un autovalore $\lambda$ indica quante volte l'autovalore è soluzione dell'equazione caratteristica $p(\lambda)=0$
La molteplicità geometrica $m_(g) (\lambda)$ di $\lambda$ è la dimensione dell'autospazio $V_(\lambda)$ associato all'autovalore.
ti ricordo l'autospazio si trova $ V_(\lambda_0)=Ker(A-\lambda_0 I_n) $
in alternativa ti puoi calcolare
la molteplicità geometrica in questo modo $ m_(g)(\lambda)=dim RR^n-rank(A-\lambda_0I_n) $
poi il mio prof a lezione ci aveva detto
la molteplicità algebrica e geometrica sono legate dalla relazione del seguente teorema
Sia $\lambda_0$ un autovalore di un endomorfismo $f\in End(RR^n)$.
Allora vale la seguente diseguaglianza $ m_a(\lambda_0)\geq m_(g) (\lambda_0) $
nel caso in cui la molteplicità algebrica sia uguale alla molteplicità geometrica, allora la matrice è diagonalizzabile
poi bé ci ha detto meglio il teorema per la diagonalizzazione.
Ma cos'è che proprio non capisci del teorema dove dice che la molteplicità algebrica è sempre maggiore o uguale della sua molteplicità geometrica?
Ciao, grazie della risposta comunque non ho capito in particolare la costruzione di quella matrice divisa in 4 parti e come fa a venire quel determinante.
Salve, stavo cercando anche io di capire questa dimostrazione, e visto che c'è già una discussione mi associo:
Il mio dubbio in particolare è nella affermazione (cito i miei appunti):
Quello che non mi è chiaro è come si passa da B' a B... Chi mi assicura che esista una base di V che contiene B'?
Grazie mille per la disponibilità a chiunque voglia illuminarmi gli studi
Il mio dubbio in particolare è nella affermazione (cito i miei appunti):
Sia $B'=[ulv_1,...,ulv_r]$ base per $V_k$
$r=dimV_k=g_k$
B' è un sistema linearmente dipendente => $EE$ una base B di V (lo spazio su cui è definito l'endomorfismo) contenente B'
$B=[ulv_1,...,ulv_r,ulv_(r+1),...,ulv_n] $
Quello che non mi è chiaro è come si passa da B' a B... Chi mi assicura che esista una base di V che contiene B'?
Grazie mille per la disponibilità a chiunque voglia illuminarmi gli studi
Scusate la riesumazione del topic;
Ma precisamente h(T) , nella dicitura del polinomio caratteristico $ P(A)= (\lambda - T)^r - h(T) $,
cosa rappresenta ?
Ma precisamente h(T) , nella dicitura del polinomio caratteristico $ P(A)= (\lambda - T)^r - h(T) $,
cosa rappresenta ?
è un polinomio in T. esattamente sarebbe $det(F-TI)$
"cooper":
è un polinomio in T. esattamente sarebbe $det(F-TI)$
Grazie Mille Cooper , sempre chiaro
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