Relazione matriciale
Salve a tutti, avrei bisogno di una mano riguardo il seguente problema: non riesco a dimostrare che
\[(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=T(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}T\]
sapendo che le matrici \(E,\Phi\) (quadrate) e \(T\) soddisfano la relazione
\[T\Phi-ET-MC=0\]
con \(I\) intendo la matrice identica, mentre con \(z\) uno scalare.
Ho pensato che fosse sufficiente sostituire \(T\Phi-ET\) a \(MC\), ma questo non porta direttamente al risultato ma a
\[(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=(zI-E)^{-1}T\Phi(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}ET(zI-\Phi)^{-1}\]
come si può procedere da questo punto?
\[(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=T(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}T\]
sapendo che le matrici \(E,\Phi\) (quadrate) e \(T\) soddisfano la relazione
\[T\Phi-ET-MC=0\]
con \(I\) intendo la matrice identica, mentre con \(z\) uno scalare.
Ho pensato che fosse sufficiente sostituire \(T\Phi-ET\) a \(MC\), ma questo non porta direttamente al risultato ma a
\[(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=(zI-E)^{-1}T\Phi(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}ET(zI-\Phi)^{-1}\]
come si può procedere da questo punto?
Risposte
edit
Partendo da qui
$(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=T(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}T $
Moltiplichiamo entrambi i membri a sinistra per $(zI-E)$ e destra per $(zI-Phi)$, a sinitra ottengo $MC$ mentre a destra
$(zI-E)T-T(zI-Phi)$=$zIT-zTI-ET+TPhi=-ET+TPhi$
Da cui $MC=TPhi-ET$ vero per ipotesi
$(zI-E)^{-1}MC(zI-\Phi)^{-1}=T(zI-\Phi)^{-1}-(zI-E)^{-1}T $
Moltiplichiamo entrambi i membri a sinistra per $(zI-E)$ e destra per $(zI-Phi)$, a sinitra ottengo $MC$ mentre a destra
$(zI-E)T-T(zI-Phi)$=$zIT-zTI-ET+TPhi=-ET+TPhi$
Da cui $MC=TPhi-ET$ vero per ipotesi
ti ringrazio 
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