Relazione di inclusione tra potenze di un endomorfismo

[SimonePietroCarrozza]

Salve a tutti!
Qualcuno potrebbe aiutarmi con questa dimostrazione? Non saprei proprio da dove partire...
Dato l'endomorfismo $f: V \to V$ dimostrare che:
1) $Ker(f) \sube Ker(f^2) \sube Ker(f^3) \sube Ker(f^4) \sube ...$
2) Se $Ker(f^n)=Ker(f^(n+1)) \rArr Ker(f^(n+1))=Ker(f^(n+2))$
3) $Im(f) \supe Im(f^2) \supe Im(f^3) \supe Im(f^4) \supe ...$
4) Se $Im(f^n)=Im(f^(n+1)) \rArr Im(f^(n+1))=Im(f^(n+2))$

[killing_buddha]

Se $f,g$ sono endomorfismi componibili, in che relazione stanno l'immagine di $g$ e l'immagine di $gf$? E il nucleo di $f$ col nucleo di $gf$? Poni $f=g$, fai induzione su $n$, e tutti a casa.

[anto_zoolander]

Prendi un endomorfismo $L:V->V$

Se $v in Ker(L)$ allora $L^2(v)=L(L(v))=...$?

[SimonePietroCarrozza]

"killing_buddha":Se $f,g$ sono endomorfismi componibili, in che relazione stanno l'immagine di $g$ e l'immagine di $gf$?

Intanto grazie ad entrambi per la risposta.
Il problema però è proprio questo, non so come dimostrare qual è l'insieme immagine che risulta da una composizione