Relazione di inclusione di U_n in O_2n

[Stefano951]

Salve, sto impazzendo su un esercizio, che mi chiede di trovare una relazione di inclusione del gruppo delle matrici unitarie di ordine n $ U_n $ in quello delle matrici ortogonali di ordine 2n $ O_2n $.
Anche solo il fatto che sia $ O_2n $ invece di $ O_n $ mi blocca. Come potrei procedere?

[vict85]

La matrice unitaria è una matrice a valori complessi, una matrice ortogonale ha valori reali. Quindi entrambe agiscono su uno spazio reale della stessa dimensione. In altre parole devi trasformare lo spazio complesso in uno reale in modo opportuno.

[Stefano951]

"vict85":La matrice unitaria è una matrice a valori complessi, una matrice ortogonale ha valori reali. Quindi entrambe agiscono su uno spazio reale della stessa dimensione. In altre parole devi trasformare lo spazio complesso in uno reale in modo opportuno.

Mi dispiace, ma continuo a non capire, sopratutto per la diversità degli ordini.

[vict85]

\(\mathbb{C}\) è uno spazio vettoriale reale di dimensione 2. Concordi?

[Stefano951]

"vict85":\(\mathbb{C}\) è uno spazio vettoriale reale di dimensione 2. Concordi?

Sì nel caso in cui sia su \(\mathbb{R}\). Considera che vengo da un corso di soli 9 crediti, non è che riusciresti a farmi una spiegazione un po' per poveri? Se non è troppo, non voglio scomodare troppo.

[vict85]

Quello che ti sto dicendo è in realtà piuttosto semplice.

Prendi \(\displaystyle \mathbb{C} \) e una trasformazione lineare (complessa) su di esso, ovvero la moltiplicazione per uno scalare (complesso). Sia \(q = a + bi\) questo scalare. Allora si ha che \(\displaystyle q(x + iy) = ax -by + i(ay + xb) \).

Se vediamo \(\displaystyle \mathbb{C} \) come uno spazio vettoriale reale possiamo vedere la moltiplicazione per q come la matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \). Fai il prodotto con il vettore colonna \(\displaystyle \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} \) per convincertene.

Il caso che devi risolvere è simile. Prova a ragionarci sopra.