Relazione di Grassmann
Ragazzi, mi dite se la dimostrazione di Grassmann è corretta?
Allora, la tesi è:
dim(S+T) + dim(S int T) = dimS + dimT
La dimostrazione è la seguente:
Sia {u, u1, uh } una base del sottospazio S interzione T, quindi dimensione di questo sottospazio è dim(S int T ) = h.
Ora S int B sta in S quindi possiamo completare la base precedente prendendo alcuni vettori di S in modo da ottenere una base di S { u, u1, uh, v, v1, vp}, tale base ha dimensione dimS=(h+p). Stesso discorso vale per T quindi una base di T sarebbe {u, u1, uh, w, w1, wq} e tale base avrebbe dimensione dimT = h + q.
Se dimostriamo che B = {u1, uh, v1, vp, w1, wq } è una base di S + T, con un semplice calcolo delle dimensioni possiamo provare la tesi.
Ora tali vettori formano una base di B se:
1. sono generatori
2. sono linearmente indipendenti.
Per il fatto che sono generatori si può dire che questo è verificato se esiste un vettore x appartenente a S+T che è combinazione lineare di un vettore appartenente ad S ed un appartenente a T. Ma questo perchè è vero ?
Per dimostrare l'indipendenza, la relazione:
au + avh + bv + bvp + cw + cwq = 0
deve essere vera solo se i coefficienti sono tutti nulli.
Perchè si vede che cw + cwq appartiene ad S e T e ad S int T ? nn dovrebbe appartenere solo a T e non ad S ?
mi spiegate, per favore, questi due punti che non mi sono chiari ?
Grazie!
Allora, la tesi è:
dim(S+T) + dim(S int T) = dimS + dimT
La dimostrazione è la seguente:
Sia {u, u1, uh } una base del sottospazio S interzione T, quindi dimensione di questo sottospazio è dim(S int T ) = h.
Ora S int B sta in S quindi possiamo completare la base precedente prendendo alcuni vettori di S in modo da ottenere una base di S { u, u1, uh, v, v1, vp}, tale base ha dimensione dimS=(h+p). Stesso discorso vale per T quindi una base di T sarebbe {u, u1, uh, w, w1, wq} e tale base avrebbe dimensione dimT = h + q.
Se dimostriamo che B = {u1, uh, v1, vp, w1, wq } è una base di S + T, con un semplice calcolo delle dimensioni possiamo provare la tesi.
Ora tali vettori formano una base di B se:
1. sono generatori
2. sono linearmente indipendenti.
Per il fatto che sono generatori si può dire che questo è verificato se esiste un vettore x appartenente a S+T che è combinazione lineare di un vettore appartenente ad S ed un appartenente a T. Ma questo perchè è vero ?
Per dimostrare l'indipendenza, la relazione:
au + avh + bv + bvp + cw + cwq = 0
deve essere vera solo se i coefficienti sono tutti nulli.
Perchè si vede che cw + cwq appartiene ad S e T e ad S int T ? nn dovrebbe appartenere solo a T e non ad S ?
mi spiegate, per favore, questi due punti che non mi sono chiari ?
Grazie!
Risposte
nessuno che mi sappia dare spiegazioni in merito ? 
possibile che nessuno l'abbia studiata ?
a nessuno piace l'algebra ?
a nessuno piace l'algebra ?
proprio nessun suggerimento ?
Perchè cw + cwq appartiene ad S, T e ad S intersezione T ? Per costruzione non dovrebbe appartenere solo a T ? come è che appartiene anche agli altri due ?
Perchè cw + cwq appartiene ad S, T e ad S intersezione T ? Per costruzione non dovrebbe appartenere solo a T ? come è che appartiene anche agli altri due ?
Quanto alla prima frase che hai messo in grassetto, basta che scrivi un generico vettore x che sta in S+T come somma di un vettore che sta in S ed un vettore che sta in T. Ora questi due vettori li scrivi come combinazionel lineare nelle basi scelte sopra per S e T, e li risommi di nuovo. Ottieni cosi' che x si scrive come combinazione lineare degli elementi di B.
Anche la seconda e' facile: porta quella somma cw+cwq al secondo membro: essa sta in T, ma il vettore che ti e' rimasto al primo membro sta in S. Per cui essa sta in T int S. La riscrivi come combinazione di u_i, riscrivi tutto, e trovi, per l'indipendenza lineare, che b_i=0. Ora ti rimangono, tornando alla vecchia relazione, solo gli a_i ed i c_i. Hai ancora una combinazione nulla di elementi di una base, e quindi anche a_i e c_i sono nulli.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Anche la seconda e' facile: porta quella somma cw+cwq al secondo membro: essa sta in T, ma il vettore che ti e' rimasto al primo membro sta in S. Per cui essa sta in T int S. La riscrivi come combinazione di u_i, riscrivi tutto, e trovi, per l'indipendenza lineare, che b_i=0. Ora ti rimangono, tornando alla vecchia relazione, solo gli a_i ed i c_i. Hai ancora una combinazione nulla di elementi di una base, e quindi anche a_i e c_i sono nulli.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Grazie Luca!!!
praticamente avevo la soluzione sotto agli occhi, però non la sapevo vedere, a quanto pare!!!
Grazie !!!
praticamente avevo la soluzione sotto agli occhi, però non la sapevo vedere, a quanto pare!!!
Grazie !!!
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