Relazione di equivalenza su un sottoinsieme di $RR^2$ con iperboli
Sia $XsubeRR^22$ il luogo dato dalle soluzioni delle seguenti disequazioni: $-1<=xy<=1,-5<=x<=5$, munito della topologia euclidea. Sia $∼$ la relazione di equivalenza definita da:
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1 = x_2, y_1 ≥ 7$ e $y_2 ≥ 7$,
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1 = x_2, y_1<= -7$ e $y_2 <= -7$,
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $y_1 = y_2, x_1 = ±5$ e $x_2 = ±5$
e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X// ∼$ munito della topologia quoziente.
Determinare se $Y$ sia omotopo ad una sfera o un toro.
Io sincermente avevo pensato di fare la retrazione per deformazione sull'asse $x$ definita come $R(t,(x,y))=(x,ty)$ e poi da qui ottengo un segmento che ha i due estremi equivalenti e quindi è omeomorfo a $S^1$ da cui ho che il gruppo fondamentale è $ZZ$ e perciò $Y$ non è omotopo ne al toro ne alla sfera, ma non so se sia giusto, qualcuno mi sa dire?Grazie
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1 = x_2, y_1 ≥ 7$ e $y_2 ≥ 7$,
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1 = x_2, y_1<= -7$ e $y_2 <= -7$,
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $y_1 = y_2, x_1 = ±5$ e $x_2 = ±5$
e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X// ∼$ munito della topologia quoziente.
Determinare se $Y$ sia omotopo ad una sfera o un toro.
Io sincermente avevo pensato di fare la retrazione per deformazione sull'asse $x$ definita come $R(t,(x,y))=(x,ty)$ e poi da qui ottengo un segmento che ha i due estremi equivalenti e quindi è omeomorfo a $S^1$ da cui ho che il gruppo fondamentale è $ZZ$ e perciò $Y$ non è omotopo ne al toro ne alla sfera, ma non so se sia giusto, qualcuno mi sa dire?Grazie
Risposte
Non mi è chiaro che cosa tu stia cercando di fare con quella "retrazione". Credo tu non abbia ancora capito come funzionano.
Questo è l'insieme originale:
La prima relazione crea un bordo in alto. La seconda un bordo in basso. La terza incolla i bordi a destra e sinistra. Quindi qualcosa che sembra un cilindro direi.
EDIT: Ad una seconda lettura credo di aver capito il tuo metodo con la retrazione. Arriva alle stesse conclusioni mie in ogni caso, è omeomorfo ad un cilindro.
Questo è l'insieme originale:
[img]https://lh3.googleusercontent.com/pw/AJFCJaUu9w3pTEL7BnvOu6Z4UzLq2DBeI0zMiCV_9mGq8Tf13QissG74ARPUF710zn-YR4-QaYYR8Yu2lu4rDRXTHNhYnwpcetR-tpUEi-iokZCwGyMWxiJBXaj6amwMLsgAUQ0qtnuvJv-MAWgST4tfiikx=w200-h205-s-no?authuser=0[/img]
La prima relazione crea un bordo in alto. La seconda un bordo in basso. La terza incolla i bordi a destra e sinistra. Quindi qualcosa che sembra un cilindro direi.
EDIT: Ad una seconda lettura credo di aver capito il tuo metodo con la retrazione. Arriva alle stesse conclusioni mie in ogni caso, è omeomorfo ad un cilindro.
"apatriarca":
Non mi è chiaro che cosa tu stia cercando di fare con quella "retrazione". Credo tu non abbia ancora capito come funzionano.
Questo è l'insieme originale:
[img]https://lh3.googleusercontent.com/pw/AJFCJaUu9w3pTEL7BnvOu6Z4UzLq2DBeI0zMiCV_9mGq8Tf13QissG74ARPUF710zn-YR4-QaYYR8Yu2lu4rDRXTHNhYnwpcetR-tpUEi-iokZCwGyMWxiJBXaj6amwMLsgAUQ0qtnuvJv-MAWgST4tfiikx=w200-h205-s-no?authuser=0[/img]
La prima relazione crea un bordo in alto. La seconda un bordo in basso. La terza incolla i bordi a destra e sinistra. Quindi qualcosa che sembra un cilindro direi.
EDIT: Ad una seconda lettura credo di aver capito il tuo metodo con la retrazione. Arriva alle stesse conclusioni mie in ogni caso, è omeomorfo ad un cilindro.
Come lo omeomorfismi al cilindro?
L'immagine di
\[ (x, y) \mapsto (x, y/\max(7, 1/|x|)) \]
è un rettangolo con due lati opposti identificati.
\[ (x, y) \mapsto (x, y/\max(7, 1/|x|)) \]
è un rettangolo con due lati opposti identificati.
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