Relazione biunivoca tra R e R²?
Dai miei studi di geometria ricordo che non è possibile una relazione invertibile tra spazi di dimensioni diversi, però sto studiando i covettori, e in particolare si è visto che ad ogni vettore dello spazio R² del tipo:
v=v¹e₁+v²e₂
E' associabile biunivocamente un covettore tale che:
ω=ω₁dy¹+ω₂dy²
ω₁=v₁, ω₂=v₂
Con v₁=g₁₁v¹+g₁₂v²
e v₂=g₂₁v¹+g₂₂v²
con gij matrice del tipo gij=ei*ej con * prodotto scalare.
A questo punto dato che questa è una relazione biunivoca, ma so anche che
ω(v)=ω₁dy¹(v)+ω₂dy²(v)=ω₁v¹+ω₂v²
E questo ω(v) è un numero reale. Quindi non ho capito: è una relazione biunivoca tra i vettori di R² e R oppure è una relazione solo univoca diciamo, dove posso associare ad ogni vettore di R² un numero ma non è vero che ad ogni numero posso associare un vettore di R²?
Se non è biunivoca però significa che ad ogni numero corrisponderanno infiniti vettori, nel senso che due vettori distinti avranno la stessa ω(v).
Grazie per l'aiuto.
v=v¹e₁+v²e₂
E' associabile biunivocamente un covettore tale che:
ω=ω₁dy¹+ω₂dy²
ω₁=v₁, ω₂=v₂
Con v₁=g₁₁v¹+g₁₂v²
e v₂=g₂₁v¹+g₂₂v²
con gij matrice del tipo gij=ei*ej con * prodotto scalare.
A questo punto dato che questa è una relazione biunivoca, ma so anche che
ω(v)=ω₁dy¹(v)+ω₂dy²(v)=ω₁v¹+ω₂v²
E questo ω(v) è un numero reale. Quindi non ho capito: è una relazione biunivoca tra i vettori di R² e R oppure è una relazione solo univoca diciamo, dove posso associare ad ogni vettore di R² un numero ma non è vero che ad ogni numero posso associare un vettore di R²?
Se non è biunivoca però significa che ad ogni numero corrisponderanno infiniti vettori, nel senso che due vettori distinti avranno la stessa ω(v).
Grazie per l'aiuto.