Regolarita' matrice a blocchi speciale
Ciao,
per un calcolo che sto facendo ho bisogno di valutare la regolarita' della seguente matrice:
$ A = [ ( [ ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ] , B ),( -B^T , [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] ) ] $
utilizzando la formula $det A = det (I_{2x2})*det (I_{3x3} + B^TI_{2x2}B)$ e tenuto conto che la matrice $ B^TI_{2x2}B = B^TB$ e' simmetrica semidefinita positiva mi sembra di poter concludere che la matrice A e' quindi non singolare.
E' corretto ?
per un calcolo che sto facendo ho bisogno di valutare la regolarita' della seguente matrice:
$ A = [ ( [ ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ] , B ),( -B^T , [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] ) ] $
utilizzando la formula $det A = det (I_{2x2})*det (I_{3x3} + B^TI_{2x2}B)$ e tenuto conto che la matrice $ B^TI_{2x2}B = B^TB$ e' simmetrica semidefinita positiva mi sembra di poter concludere che la matrice A e' quindi non singolare.
E' corretto ?
Risposte
Suppongo che la matrice $B$ abbia coefficienti reali.
Non conosco la formula, ma e' facile vedere che la matrice $A- Id$ e' uguale
a meno la sua trasposta ed ha quindi autovalori puramente immaginari.
Gli autovalori di $A$ hanno quindi la forma $1+ti$ per qualche $t\in RR$ e non
possono essere nulli.
Non conosco la formula, ma e' facile vedere che la matrice $A- Id$ e' uguale
a meno la sua trasposta ed ha quindi autovalori puramente immaginari.
Gli autovalori di $A$ hanno quindi la forma $1+ti$ per qualche $t\in RR$ e non
possono essere nulli.
"Stickelberger":Si confermo.
Suppongo che la matrice $B$ abbia coefficienti reali.
"Stickelberger":ok mi torna.
Gli autovalori di $A$ hanno quindi la forma $1+ti$ per qualche $t\in RR$ e non
possono essere nulli.
Situazione simile questa volta con la seguente matrice in cui $d_1....d_5$ sono tutti reali positivi:
$ A = [ ( [ ( d_1 , 0 ),( 0 , d_2 ) ] , B ),( -B^T , [ ( d_3 , 0 , 0 ),( 0 , d_4 , 0 ),( 0 , 0 , d_5 ) ] ) ] $
Non sono sicuro che il tuo ragionamento si possa applicare questa volta alla matrice $A - D$ con $D$ matrice diagonale con tutti i $d_i>0$ sulla diagonale...
Con l'uso della formula di cui sopra si dovrebbe poter dimostrare la non singolarita' di $A$ anche in questo caso.
Non conosco la formula ma ho provato a ragionare così.
Per comodità, poniamo $-B^TB=C$ una matrice 3x3 simmetrica.
Per come l'hai costruita ha almeno UN autovalore pari a zero e i rimanenti autovalori reali negativi.
$det(I-C)!=0$ allora $(I-C)$ sarà non singolare se e solo se $lambda=1$ non è un autovalore di C.
Ti torna?
P.S.E' meglio mettere anche la conclusione a scanso di fraindentimenti. C è semidefinita negativa pertanto non può avere autovalori positivi e questo prova la tua tesi.
P.S.2 Per quanto riguarda il secondo problema, posso solo dire che applicando il ragionamento di cui sopra, allora la tua affermazione è sicuramente vera per $d_3=d_4=d_5$ ma il caso generale non mi sembra così immediato e diretto. C'è da pensarci su.
Per comodità, poniamo $-B^TB=C$ una matrice 3x3 simmetrica.
Per come l'hai costruita ha almeno UN autovalore pari a zero e i rimanenti autovalori reali negativi.
$det(I-C)!=0$ allora $(I-C)$ sarà non singolare se e solo se $lambda=1$ non è un autovalore di C.
Ti torna?
P.S.E' meglio mettere anche la conclusione a scanso di fraindentimenti. C è semidefinita negativa pertanto non può avere autovalori positivi e questo prova la tua tesi.
P.S.2 Per quanto riguarda il secondo problema, posso solo dire che applicando il ragionamento di cui sopra, allora la tua affermazione è sicuramente vera per $d_3=d_4=d_5$ ma il caso generale non mi sembra così immediato e diretto. C'è da pensarci su.
"Bokonon":
Non conosco la formula ma ho provato a ragionare così.
La formula di cui parlo l'ho trovata in questa presentazione https://www.uniba.it/ricerca/dipartimenti/dse/dipartimento/personale/personale-docente/pollice/stat_mult/algebra-slides.pdf slide 26
"Bokonon":
Per comodità, poniamo $-B^TB=C$ una matrice 3x3 simmetrica.
Per come l'hai costruita ha almeno UN autovalore pari a zero e i rimanenti autovalori reali negativi.
$det(I-C)!=0$ allora $(I-C)$ sarà non singolare se e solo se $lambda=1$ non è un autovalore di C.
Onestamente non capisco come leghi gli autovalori di $C=-B^TB$ a quelli della matrice
$ E = [ ( [ ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ] , B ),( -B^T , [ ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] ) ] $ e quindi a quelli della matrice $A$ di partenza.
Gli autovalori di $E$ sono tutti immaginari in quanto matrice antisimmetrica e di conseguenza la matirice $A$ di partenza non puo' avere autovalori reali ergo e' non singolare.
La matrice $5\times 5$ che stiamo considerando e’ somma di una matrice
diagonale definita positiva e una matrice a blocchi antisimmetrica.
La seguente proposizione riguarda una situazione un po’ piu’ generale.
Proposizione. Siano $M, N$ matrici $n\times n$ con coefficienti reali.
Supponiamo che $M$ sia simmetrica e definita positiva, mentre $N$ sia
antisimmetrica. Allora $M+N$ e’ invertibile.
Infatti, se $M=Id$, abbiamo gia’ visto che gli autovalori di $M+N$ hanno
la forma $1+ti$ per qualche $t\in RR$. E quindi $M+N$ e’ invertibile.
Nel caso generale diagonalizziamo $M$: scriviamo $M=UDU^{-1}$
con $D$ diagonale e $U$ ortogonale. Poiche’ $M$ e definita positiva,
esiste una matrice reale diagonale $C$ invertibile con $C^2=D$.
Sia $E=UCU^{-1}$. Allora $E$ e' invertibile e simmetrica.
Abbiamo che $E\cdot E^T=M$ e quindi
$E^{-1}(M+N)E^{-T}=Id+E^{-1}NE^{-T}$.
Poiche’ la matrice $E^{-1}NE^{-T}$ e’ antisimmetrica, ci ritroviamo nel
caso $M=Id$, che sapevamo gia’ fare. Allora $M+N$ e’ invertibile.
diagonale definita positiva e una matrice a blocchi antisimmetrica.
La seguente proposizione riguarda una situazione un po’ piu’ generale.
Proposizione. Siano $M, N$ matrici $n\times n$ con coefficienti reali.
Supponiamo che $M$ sia simmetrica e definita positiva, mentre $N$ sia
antisimmetrica. Allora $M+N$ e’ invertibile.
Infatti, se $M=Id$, abbiamo gia’ visto che gli autovalori di $M+N$ hanno
la forma $1+ti$ per qualche $t\in RR$. E quindi $M+N$ e’ invertibile.
Nel caso generale diagonalizziamo $M$: scriviamo $M=UDU^{-1}$
con $D$ diagonale e $U$ ortogonale. Poiche’ $M$ e definita positiva,
esiste una matrice reale diagonale $C$ invertibile con $C^2=D$.
Sia $E=UCU^{-1}$. Allora $E$ e' invertibile e simmetrica.
Abbiamo che $E\cdot E^T=M$ e quindi
$E^{-1}(M+N)E^{-T}=Id+E^{-1}NE^{-T}$.
Poiche’ la matrice $E^{-1}NE^{-T}$ e’ antisimmetrica, ci ritroviamo nel
caso $M=Id$, che sapevamo gia’ fare. Allora $M+N$ e’ invertibile.
"Stickelberger":
Poiche’ la matrice $E^{-1}NE^{-T}$ e’ antisimmetrica, ci ritroviamo nel
caso $M=Id$, che sapevamo gia’ fare. Allora $M+N$ e’ invertibile.
ok, chiarissimo grazie
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